Номер 9.54, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.54. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = -x - 1;$

2) $\sqrt{x} = 2 - x;$

3) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}.$

1) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = -x - 1$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 1$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Она расположена в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \geq 0$, а область значений $y \geq 0$. Ключевые точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = -0 - 1 = -1$. Точка (0, -1).
• если $y = 0$, то $0 = -x - 1$, откуда $x = -1$. Точка (-1, 0).

Построим оба графика. График $y = \sqrt{x}$ целиком лежит в области, где $y \geq 0$. В то же время, для области определения функции $y = \sqrt{x}$ (т.е. при $x \geq 0$), значения функции $y = -x - 1$ всегда будут отрицательными ($y \leq -1$). Поскольку множества значений функций не пересекаются, их графики также не пересекаются.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = 2 - 0 = 2$. Точка (0, 2).
• если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка (2, 0).

Построим оба графика. Видно, что графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты (1, 1). Проверим это: для $x=1$ левая часть уравнения равна $\sqrt{1} = 1$, и правая часть равна $2 - 1 = 1$. Равенство верно.

Таким образом, решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $x = 1$.

3) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2). Область определения $x \geq 0$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку область определения $y = \sqrt{x}$ требует, чтобы $x \geq 0$, а для $y = \frac{1}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю, мы ищем решения только при $x > 0$. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы в первой четверти. Ключевые точки для этой ветви: (0.5, 2), (1, 1), (2, 0.5).

Построим оба графика в первой координатной четверти. Видим, что графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — решение уравнения. Из графика видно, что точка пересечения — (1, 1). Проверим: для $x=1$ левая часть уравнения равна $\sqrt{1} = 1$, и правая часть равна $\frac{1}{1} = 1$. Равенство верно.

Следовательно, решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $x = 1$.