Номер 9.49, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.49. Докажите, что значение выражения является числом рациональным:

1) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

2) $\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$

1) Обозначим данное выражение через $x$:$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.Чтобы доказать, что $x$ является рациональным числом, возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$.$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3$Пусть $a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.Тогда:$a^3 = 7+5\sqrt{2}$$b^3 = 7-5\sqrt{2}$$a^3+b^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) = 14$.Найдем произведение $ab$:$ab = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})}$.Применим формулу разности квадратов $(c-d)(c+d) = c^2 - d^2$:$ab = \sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{49 - 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{49 - 50} = \sqrt[3]{-1} = -1$.Теперь подставим полученные значения в формулу для $x^3$:$x^3 = (a^3+b^3) + 3ab(a+b) = 14 + 3(-1)x$.$x^3 = 14 - 3x$.Мы получили кубическое уравнение:$x^3 + 3x - 14 = 0$.Согласно теореме о рациональных корнях, если это уравнение имеет рациональные корни, то они являются делителями свободного члена (-14). Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.Проверим корень $x=2$:$2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:$(x^3 + 3x - 14) : (x-2) = x^2+2x+7$.Уравнение можно записать в виде $(x-2)(x^2+2x+7)=0$.Для квадратного трехчлена $x^2+2x+7$ найдем дискриминант:$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2+2x+7=0$ не имеет действительных корней.Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2, а 2 — это рациональное число.Ответ: 2.

2) Обозначим данное выражение через $x$:$x = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.Чтобы доказать, что $x$ является рациональным числом, возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$.$x^3 = (\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3$.Пусть $a = \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ и $b = \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.Тогда:$a^3 = 10+6\sqrt{3}$$b^3 = 6\sqrt{3}-10$$a^3-b^3 = (10+6\sqrt{3}) - (6\sqrt{3}-10) = 10 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 10 = 20$.Найдем произведение $ab$:$ab = \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$. Заметим, что $6\sqrt{3}-10 = -(10-6\sqrt{3})$. Это не формула разности квадратов. Перепишем подкоренные выражения: $10+6\sqrt{3}$ и $-(10-6\sqrt{3})$. Упс, в задании $6\sqrt{3}+10$ и $6\sqrt{3}-10$. Тогда $a = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}$ и $b = \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.$a^3 = 6\sqrt{3}+10$$b^3 = 6\sqrt{3}-10$$a^3-b^3 = (6\sqrt{3}+10) - (6\sqrt{3}-10) = 20$.$ab = \sqrt[3]{(6\sqrt{3}+10)(6\sqrt{3}-10)} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 - 100} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2$.Теперь подставим полученные значения в формулу для $x^3$:$x^3 = (a^3-b^3) - 3ab(a-b) = 20 - 3(2)x$.$x^3 = 20 - 6x$.Мы получили кубическое уравнение:$x^3 + 6x - 20 = 0$.Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (-20): $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$.Проверим корень $x=2$:$2^3 + 6(2) - 20 = 8 + 12 - 20 = 0$.Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 6x - 20$ на $(x-2)$:$(x^3 + 6x - 20) : (x-2) = x^2+2x+10$.Уравнение можно записать в виде $(x-2)(x^2+2x+10)=0$.Для квадратного трехчлена $x^2+2x+10$ найдем дискриминант:$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2+2x+10=0$ не имеет действительных корней.Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2, а 2 — это рациональное число.Ответ: 2.