gdz.top
Номер 9.47, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Свойства корня n-й степени. Упражнения - номер 9.47, страница 79.
№9.46
№9.47 (с. 79)
Условие. №9.47 (с. 79)
9.47. Решите уравнение $\sqrt[4]{(x-3)^4} + \sqrt[6]{(5-x)^6} = 2.$
Решение 1. №9.47 (с. 79)
Решение 2. №9.47 (с. 79)
Решение 3. №9.47 (с. 79)
Решение 4. №9.47 (с. 79)
Решение 5. №9.47 (с. 79)
Данное уравнение:
$\sqrt[4]{(x-3)^4} + \sqrt[6]{(5-x)^6} = 2$
Воспользуемся свойством корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применяя это свойство к обоим слагаемым в левой части уравнения, получаем:
$|x-3| + |5-x| = 2$
Для решения уравнения с модулями рассмотрим несколько случаев, в зависимости от знаков выражений под модулем. Нули подмодульных выражений: $x-3=0 \implies x=3$ и $5-x=0 \implies x=5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. Случай $x < 3$
На этом интервале выражение $x-3$ отрицательно, а выражение $5-x$ положительно. Следовательно, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|5-x| = 5-x$.
Уравнение принимает вид:
$(3-x) + (5-x) = 2$
$8 - 2x = 2$
$2x = 6$
$x = 3$
Полученное значение $x=3$ не удовлетворяет условию $x < 3$, поэтому в этом интервале решений нет.
2. Случай $3 \le x \le 5$
На этом отрезке выражение $x-3$ неотрицательно, и выражение $5-x$ также неотрицательно. Следовательно, $|x-3| = x-3$ и $|5-x| = 5-x$.
Уравнение принимает вид:
$(x-3) + (5-x) = 2$
$x - 3 + 5 - x = 2$
$2 = 2$
Получено верное тождество, которое справедливо для любого значения $x$ из рассматриваемого отрезка. Таким образом, все числа из отрезка $[3, 5]$ являются решениями уравнения.
3. Случай $x > 5$
На этом интервале выражение $x-3$ положительно, а выражение $5-x$ отрицательно. Следовательно, $|x-3| = x-3$ и $|5-x| = -(5-x) = x-5$.
Уравнение принимает вид:
$(x-3) + (x-5) = 2$
$2x - 8 = 2$
$2x = 10$
$x = 5$
Полученное значение $x=5$ не удовлетворяет условию $x > 5$, поэтому в этом интервале решений нет.
Объединяя результаты всех трех случаев, мы приходим к выводу, что решением уравнения является множество всех чисел на отрезке от 3 до 5 включительно.
Ответ: $x \in [3, 5]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9.47 расположенного на странице 79 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.47 (с. 79), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.