Номер 9.41, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.41. Внесите множитель под знак корня:

1) $a \sqrt[4]{2}$, если $a \ge 0$;

2) $ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}}$, если $b < 0$;

3) $mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}}$;

4) $b \sqrt[6]{6}$;

5) $a \sqrt[6]{-a}$;

6) $ab \sqrt[4]{ab^2}$, если $b \le 0$.

1) Дано выражение $a\sqrt[4]{2}$ с условием $a \geq 0$.
Чтобы внести множитель под знак корня, мы должны возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение.
Так как по условию $a$ является неотрицательным числом ($a \geq 0$), мы можем внести его под корень четвертой степени, возведя в четвертую степень. Это можно записать как $a = \sqrt[4]{a^4}$.
Теперь выполним преобразование:
$a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2a^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2a^4}$.

2) Дано выражение $ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}$ с условием $b < 0$.
Сначала определим область допустимых значений для переменной $a$. Так как корень четной степени (6-ой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{6}{a^3b^2} \ge 0$. Поскольку $6 > 0$ и $b^2 > 0$ (так как $b < 0$), для выполнения неравенства необходимо, чтобы $a^3 > 0$, что означает $a > 0$.
Множитель, который мы вносим под знак корня, это $ab$. Так как $a > 0$ и $b < 0$, то их произведение $ab < 0$.
При внесении отрицательного множителя $C$ под знак корня четной степени $n$ используется правило: $C \cdot \sqrt[n]{A} = -\sqrt[n]{C^n \cdot A}$.
В нашем случае $C = ab$, $n=6$.
$ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{(ab)^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}}$.
Упростим выражение под корнем:
$a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2} = 6 \cdot \frac{a^6}{a^3} \cdot \frac{b^6}{b^2} = 6a^{6-3}b^{6-2} = 6a^3b^4$.
Таким образом, получаем:
$-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.

3) Дано выражение $mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}$.
Определим область допустимых значений. Корень четной степени (4-ой), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{1}{m^3n^3} \ge 0$. Это возможно только если знаменатель $m^3n^3 > 0$, или $(mn)^3 > 0$, что означает $mn > 0$.
Множитель, который мы вносим под знак корня, это $mn$. Так как $mn > 0$, множитель является положительным.
При внесении положительного множителя $C$ под знак корня степени $n$ используется правило: $C \cdot \sqrt[n]{A} = \sqrt[n]{C^n \cdot A}$.
$mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{(mn)^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4n^4}{m^3n^3}}$.
Упростим выражение под корнем:
$\frac{m^4n^4}{m^3n^3} = m^{4-3}n^{4-3} = mn$.
Таким образом, получаем:
$\sqrt[4]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[4]{mn}$.

4) Дано выражение $b\sqrt[6]{6}$.
В условии не указан знак переменной $b$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $b \ge 0$.
Если множитель $b$ неотрицательный, мы вносим его под корень 6-й степени, возведя в 6-ю степень:
$b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = \sqrt[6]{6b^6}$.
Случай 2: $b < 0$.
Если множитель $b$ отрицательный, то перед корнем после внесения множителя должен появиться знак "минус". Это происходит потому, что $b = -|b|$, и под корень четной степени вносится положительная величина $|b|$:
$b\sqrt[6]{6} = -|b|\sqrt[6]{6} = -\sqrt[6]{|b|^6 \cdot 6} = -\sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = -\sqrt[6]{6b^6}$.
Таким образом, результат зависит от знака $b$.
Ответ: $\sqrt[6]{6b^6}$, если $b \ge 0$; $-\sqrt[6]{6b^6}$, если $b < 0$.

5) Дано выражение $a\sqrt[6]{-a}$.
Определим область допустимых значений. Так как корень четной степени (6-ой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
Множитель, который мы вносим под знак корня, это $a$. По ОДЗ, $a \le 0$.
Если $a = 0$, выражение равно $0 \cdot \sqrt[6]{0} = 0$.
Если $a < 0$, множитель $a$ является отрицательным.
При внесении отрицательного множителя $C$ под знак корня четной степени $n$ используется правило: $C \cdot \sqrt[n]{A} = -\sqrt[n]{C^n \cdot A}$.
В нашем случае $C=a$ и $A=-a$.
$a\sqrt[6]{-a} = -\sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{-a^{6+1}} = -\sqrt[6]{-a^7}$.
Этот результат также верен для $a=0$, так как $-\sqrt[6]{-0^7} = 0$.
Ответ: $-\sqrt[6]{-a^7}$.

6) Дано выражение $ab\sqrt[4]{ab^2}$ с условием $b \le 0$.
Определим область допустимых значений для переменной $a$. Так как корень четной степени (4-ой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ab^2 \ge 0$.
По условию $b \le 0$.
Если $b = 0$, то $a \cdot 0^2 = 0 \ge 0$ для любого $a$. Выражение становится $a \cdot 0 \cdot \sqrt[4]{a \cdot 0^2} = 0$.
Если $b < 0$, то $b^2 > 0$. Неравенство $ab^2 \ge 0$ сводится к $a \ge 0$.
Итак, выражение определено при $b=0$ (для любого $a$) и при $b<0, a\ge0$.
Рассмотрим знак множителя $ab$.
Если $b=0$ или $a=0$, то $ab=0$, и все выражение равно 0.
Если $b < 0$ и $a > 0$, то множитель $ab$ отрицательный.
Для случая $a>0, b<0$ мы вносим отрицательный множитель $ab$ под знак корня четной степени (4-ой), поэтому перед корнем ставится знак "минус":
$ab\sqrt[4]{ab^2} = -\sqrt[4]{(ab)^4 \cdot (ab^2)} = -\sqrt[4]{a^4b^4 \cdot a \cdot b^2}$.
Упростим выражение под корнем:
$a^4b^4 \cdot a \cdot b^2 = a^{4+1}b^{4+2} = a^5b^6$.
Таким образом, получаем:
$-\sqrt[4]{a^5b^6}$.
Этот результат также верен для граничных случаев $a=0$ или $b=0$, так как он обращается в 0.
Ответ: $-\sqrt[4]{a^5b^6}$.