Номер 9.37, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.37. Решите уравнение:

1) $\sqrt[8]{x^8} = x+8;$

2) $\sqrt[12]{x^{12}} = 6x - 10.$

1) Дано уравнение $\sqrt[8]{x^8} = x + 8$.

По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Так как показатель корня 8 является четным числом, левую часть уравнения можно преобразовать:

$\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению с модулем:

$|x| = x + 8$.

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, основанных на определении модуля.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ модуль раскрывается со знаком плюс: $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$x = x + 8$

$0 = 8$

Это равенство является ложным, следовательно, в случае $x \ge 0$ уравнение решений не имеет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$ модуль раскрывается со знаком минус: $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$-x = x + 8$

Перенесем $x$ в левую часть:

$-2x = 8$

$x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -4$ условию $x < 0$. Условие $-4 < 0$ выполняется.

Подставим найденное значение в исходное уравнение для окончательной проверки:

$\sqrt[8]{(-4)^8} = -4 + 8$

$\sqrt[8]{65536} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, $x = -4$ является решением уравнения.

Ответ: -4

2) Дано уравнение $\sqrt[12]{x^{12}} = 6x - 10$.

По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Так как показатель корня 12 является четным числом, левую часть уравнения можно преобразовать:

$\sqrt[12]{x^{12}} = |x|$.

Уравнение принимает вид:

$|x| = 6x - 10$.

Поскольку значение модуля всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на возможные значения $x$ (область допустимых значений):

$6x - 10 \ge 0$

$6x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{6}$

$x \ge \frac{5}{3}$

Любой корень уравнения должен удовлетворять этому условию. Теперь решим уравнение, раскрыв модуль.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Уравнение становится:

$x = 6x - 10$

$5x = 10$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = 2$ условию $x \ge 5/3$. Так как $2 = 6/3$, а $6/3 \ge 5/3$, условие выполняется. Значит, $x=2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Уравнение становится:

$-x = 6x - 10$

$7x = 10$

$x = \frac{10}{7}$

Найденное значение $x = \frac{10}{7}$ не удовлетворяет условию данного случая ($x < 0$), так как $\frac{10}{7} > 0$. Следовательно, это посторонний корень. (Также он не удовлетворяет ОДЗ $x \ge 5/3$, поскольку $\frac{10}{7} = \frac{30}{21}$, а $\frac{5}{3} = \frac{35}{21}$).

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 2$. Проведем проверку:

$\sqrt[12]{2^{12}} = 6(2) - 10$

$|2| = 12 - 10$

$2 = 2$

Равенство верное.

Ответ: 2