Номер 9.44, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $\sqrt{10} - 3\sqrt{15} + 6\sqrt{10}$,

2) $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{60} - 4\sqrt{2}$.

9.44. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}.$

1)

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

Сначала упростим первый множитель $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}}$. Заметим, что подкоренное выражение $7-4\sqrt{3}$ можно представить в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, из чего следует, что $ab=2\sqrt{3}$.

Легко подобрать, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Условие выполняется.

Таким образом, мы можем записать: $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Подставим это обратно в первый множитель: $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2}$.

Используя свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, мы можем сократить степень корня и показатель степени подкоренного выражения на 2: $\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$.

В итоге получаем $\sqrt[3]{1} = 1$.

Ответ: 1

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$.

Упростим второй множитель $\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$. Представим подкоренное выражение $25+4\sqrt{6}$ в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=25$ и $2ab=4\sqrt{6}$, то есть $ab=2\sqrt{6}$.

Проверим значения $a=1$ и $b=2\sqrt{6}$. В этом случае $a^2+b^2 = 1^2+(2\sqrt{6})^2 = 1 + 4 \cdot 6 = 1+24=25$. Условие выполняется.

Следовательно, $25+4\sqrt{6} = (1+2\sqrt{6})^2$. Порядок слагаемых не имеет значения, поэтому можно записать и как $(2\sqrt{6}+1)^2$.

Подставим это во второй множитель: $\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2}$.

Используя свойство корней, сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2: $\sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{2\sqrt{6}+1}$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt{2\sqrt{6}+1}$.

Объединим корни по свойству $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1)}$

Выражение под корнем является разностью квадратов:

$(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1) = (2\sqrt{6})^2 - 1^2 = 4 \cdot 6 - 1 = 24 - 1 = 23$.

Таким образом, значение выражения равно $\sqrt{23}$.

Ответ: $\sqrt{23}$