Номер 9.51, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.51. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}};$

2) $a^5 \cdot a^{-8};$

3) $a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12};$

4) $a^{-3} : a^{-15};$

5) $a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9};$

6) $(a^{-5})^4.$

1) Для упрощения выражения $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}}$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим числитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.

Теперь выражение в числителе выглядит так: $a^{18} \cdot a^4$.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^{18} \cdot a^4 = a^{18+4} = a^{22}$.

Теперь все выражение имеет вид: $\frac{a^{22}}{a^{16}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{a^{22}}{a^{16}} = a^{22-16} = a^6$.

Ответ: $a^6$.

2) Для упрощения выражения $a^5 \cdot a^{-8}$ используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Сложим показатели степеней:

$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5 + (-8)} = a^{5-8} = a^{-3}$.

Ответ: $a^{-3}$.

3) Для упрощения выражения $a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12}$ используем правило умножения степеней с одинаковым основанием, сложив все показатели:

$a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-5 + 10 + (-12)} = a^{5 - 12} = a^{-7}$.

Ответ: $a^{-7}$.

4) Для упрощения выражения $a^{-3} : a^{-15}$ используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Вычтем из показателя делимого показатель делителя:

$a^{-3} : a^{-15} = a^{-3 - (-15)} = a^{-3+15} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

5) Упростим выражение $a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9}$ по действиям слева направо.

Сначала выполним умножение $a^{12} \cdot a^{-20}$. По правилу умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели:

$a^{12} \cdot a^{-20} = a^{12 + (-20)} = a^{12-20} = a^{-8}$.

Теперь выполним деление $a^{-8} : a^{-9}$. По правилу деления степеней, вычитаем показатели:

$a^{-8} : a^{-9} = a^{-8 - (-9)} = a^{-8+9} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

6) Для упрощения выражения $(a^{-5})^4$ используем правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$(a^{-5})^4 = a^{-5 \cdot 4} = a^{-20}$.

Ответ: $a^{-20}$.