Номер 9.46, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.46. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}=\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x};$

2) $\frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}+\frac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$.
Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$, а $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^4 = y^4$.
Левая часть тождества (обозначим ее $L$) примет вид:
$ L = \left( \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} \right) : \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} $
Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y^2(y+1)$:
$ \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} = \frac{1 \cdot y^2 - (y - 1)(y + 1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - (y^2 - 1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - y^2 + 1}{y^2(y+1)} = \frac{1}{y^2(y+1)} $
Теперь преобразуем делитель, используя в знаменателе формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ :
$ \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} = \frac{y^4}{(y+1)^2} $
Выполним деление, для чего умножим первое выражение на дробь, обратную делителю:
$ L = \frac{1}{y^2(y+1)} \cdot \frac{(y+1)^2}{y^4} $
Сократим общий множитель $(y+1)$:
$ L = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{y+1}{y^4} = \frac{y+1}{y^6} $
Теперь выполним обратную замену. Так как $y = \sqrt[6]{x}$, то $y^6 = x$.
$ L = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x} $
Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Равенство является тождеством.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, которая представляет собой сложную дробь. Введем замены: пусть $u = \sqrt[6]{a}$ и $v = \sqrt[6]{b}$.
Тогда $a = u^6$, $b = v^6$. Выразим остальные члены выражения через $u$ и $v$:
$ \sqrt[3]{a^2} = (a^{2/3}) = (u^6)^{2/3} = u^4; \quad \sqrt[3]{b^2} = v^4 $
$ \sqrt[3]{ab} = (ab)^{1/3} = (u^6v^6)^{1/3} = u^2v^2 $
$ \sqrt[3]{ab^2} = a^{1/3}b^{2/3} = u^2v^4; \quad \sqrt[3]{a^2b} = a^{2/3}b^{1/3} = u^4v^2 $
Преобразуем числитель $N$ сложной дроби:
$ N = \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} - \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{u^6+v^6}{u^4-v^4} + \frac{u^2v^4 - u^4v^2}{u^4 - 2u^2v^2 + v^4} $
Упростим каждое слагаемое в $N$, используя формулы сокращенного умножения:
Первое слагаемое: $ \frac{u^6+v^6}{u^4-v^4} = \frac{(u^2)^3+(v^2)^3}{(u^2-v^2)(u^2+v^2)} = \frac{(u^2+v^2)(u^4-u^2v^2+v^4)}{(u^2-v^2)(u^2+v^2)} = \frac{u^4-u^2v^2+v^4}{u^2-v^2} $
Второе слагаемое: $ \frac{u^2v^4 - u^4v^2}{u^4 - 2u^2v^2 + v^4} = \frac{-u^2v^2(u^2-v^2)}{(u^2-v^2)^2} = \frac{-u^2v^2}{u^2-v^2} $
Сложим полученные дроби:
$ N = \frac{u^4-u^2v^2+v^4}{u^2-v^2} + \frac{-u^2v^2}{u^2-v^2} = \frac{u^4-u^2v^2+v^4 - u^2v^2}{u^2-v^2} = \frac{u^4-2u^2v^2+v^4}{u^2-v^2} = \frac{(u^2-v^2)^2}{u^2-v^2} = u^2-v^2 $
Знаменатель $D$ сложной дроби равен $ \sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b} = u-v $.
Теперь разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{N}{D} = \frac{u^2-v^2}{u-v} = \frac{(u-v)(u+v)}{u-v} = u+v $
Выполним обратную замену:
$ u+v = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} $
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Равенство является тождеством.