Номер 9.48, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.48. Постройте график функции $y = \sqrt[8]{(x+1)^8} + \sqrt{(x-3)^2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt[8]{(x+1)^8} + \sqrt{(x-3)^2}$ необходимо сначала упростить данное выражение.

Мы используем свойство корня четной степени, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ выполняется равенство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Применим это свойство к каждому слагаемому в нашей функции.
Для первого слагаемого, $\sqrt[8]{(x+1)^8}$, показатель корня 8 является четным числом, поэтому $\sqrt[8]{(x+1)^8} = |x+1|$.
Для второго слагаемого, $\sqrt{(x-3)^2}$, показатель корня 2 (квадратный корень) также является четным, поэтому $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Таким образом, исходная функция может быть записана в более простом виде: $y = |x+1| + |x-3|$.

Для построения графика функции, содержащей сумму модулей, необходимо рассмотреть ее поведение на различных промежутках, которые определяются нулями подмодульных выражений. Выражения под модулями обращаются в ноль в точках $x = -1$ и $x = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$.

1. На интервале $x < -1$ оба выражения под модулями отрицательны. Следовательно, мы раскрываем модули с противоположным знаком:
$y = -(x+1) - (x-3) = -x - 1 - x + 3 = -2x + 2$.
На этом промежутке график функции представляет собой луч прямой $y = -2x + 2$.

2. На интервале $-1 \le x < 3$ выражение $(x+1)$ неотрицательно, а выражение $(x-3)$ отрицательно. Раскрываем модули соответствующим образом:
$y = (x+1) - (x-3) = x + 1 - x + 3 = 4$.
На этом промежутке функция постоянна, и ее график — это горизонтальный отрезок прямой $y=4$.

3. На интервале $x \ge 3$ оба выражения под модулями неотрицательны. Раскрываем модули, сохраняя знак:
$y = (x+1) + (x-3) = x + 1 + x - 3 = 2x - 2$.
На этом промежутке график функции представляет собой луч прямой $y = 2x - 2$.

Объединив все три части, мы можем построить итоговый график. Он будет состоять из:

• луча $y = -2x + 2$, заканчивающегося в точке $(-1, 4)$ (при $x \to -1$ слева, $y \to -2(-1)+2=4$);
• горизонтального отрезка $y = 4$ между точками $(-1, 4)$ и $(3, 4)$;
• луча $y = 2x - 2$, начинающегося в точке $(3, 4)$ (при $x=3$, $y = 2(3)-2=4$).

График представляет собой ломаную линию, похожую на "корыто" или "ковш".

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей: луча $y = -2x+2$ для $x \le -1$, горизонтального отрезка $y=4$ для $-1 \le x \le 3$ и луча $y = 2x-2$ для $x \ge 3$. Вершины ломаной находятся в точках $(-1, 4)$ и $(3, 4)$.