Номер 9.42, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.42. Внесите множитель под знак корня:

1) $c\sqrt[8]{3}$, если $c \le 0$;

2) $a\sqrt[6]{a}$;

3) $-ab\sqrt[4]{6}$, если $a \le 0, b \ge 0$;

4) $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$, если $a < 0$;

5) $a\sqrt[4]{-a^3}$.

1) Чтобы внести множитель $c$ под знак корня четной степени (в данном случае 8), необходимо учесть знак этого множителя. По условию $c \le 0$, то есть множитель является неположительным. Для внесения отрицательного или нулевого множителя $B$ под знак корня четной степени $2n$ используется правило: $B\sqrt[2n]{A} = -\sqrt[2n]{B^{2n}A}$. Применим это правило к нашему выражению: $c\sqrt[8]{3} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot 3} = -\sqrt[8]{3c^8}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3c^8}$.

2) В выражении $a^6\sqrt[6]{a}$ корень шестой степени (четная степень) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, следовательно, должно выполняться условие $a \ge 0$. Множитель перед корнем, $a^6$, всегда неотрицателен, так как любое число в четной степени не может быть отрицательным ($a^6 \ge 0$). Для внесения неотрицательного множителя $B$ под знак корня используется правило $B\sqrt[n]{A} = \sqrt[n]{B^n A}$. Вносим множитель $a^6$ под знак корня: $a^6\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{(a^6)^6 \cdot a} = \sqrt[6]{a^{36} \cdot a} = \sqrt[6]{a^{37}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{37}}$.

3) Рассмотрим выражение $-ab\sqrt[4]{6}$ при условиях $a \le 0$ и $b \ge 0$. Степень корня равна 4 (четная). Сначала определим знак множителя $-ab$, который стоит перед корнем. Поскольку $a \le 0$ и $b \ge 0$, их произведение $ab \le 0$. Следовательно, множитель $-ab$ является неотрицательным ($-ab \ge 0$). Так как множитель неотрицательный, мы можем внести его под знак корня, возведя в 4-ю степень: $-ab\sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{(-ab)^4 \cdot 6} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot 6} = \sqrt[4]{6a^4b^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6a^4b^4}$.

4) Дано выражение $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$ при условии $a < 0$. Степень корня равна 8 (четная). Чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{3}{a^4b^5} \ge 0$. Так как $a^4 > 0$ при $a < 0$ и $3>0$, то необходимо, чтобы $b^5 > 0$, что означает $b > 0$. Теперь определим знак множителя $ab$. При $a < 0$ и $b > 0$ их произведение $ab < 0$. Поскольку множитель отрицательный, для внесения его под корень четной степени используем правило $B\sqrt[2n]{A} = -\sqrt[2n]{B^{2n}A}$: $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{(ab)^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5}}$. Упростим выражение под корнем: $a^8b^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5} = 3 \cdot \frac{a^8}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5} = 3a^{4}b^{3}$. В итоге получаем: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.

5) Рассмотрим выражение $a\sqrt[4]{-a^3}$. Степень корня равна 4 (четная), поэтому подкоренное выражение $-a^3$ должно быть неотрицательным: $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, а значит $a \le 0$. Таким образом, множитель $a$ перед корнем является неположительным. Если $a<0$, то множитель отрицательный, и для внесения его под корень четной степени используем правило $B\sqrt[2n]{A} = -\sqrt[2n]{B^{2n}A}$. Если $a=0$, то обе части равенства обращаются в ноль. Применяем правило: $a\sqrt[4]{-a^3} = -\sqrt[4]{a^4 \cdot (-a^3)} = -\sqrt[4]{-a^{4+3}} = -\sqrt[4]{-a^7}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{-a^7}$.