Номер 9.35, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.35. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{x^4} - x$, если $x \le 0$;

2) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$;

3) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$;

4) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x^4} - x$ при условии $x \le 0$.

Преобразуем выражение, используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Для данной функции это означает, что $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Таким образом, уравнение функции принимает вид: $y = |x| - x$.

По условию задачи, мы рассматриваем функцию только для $x \le 0$. По определению модуля, если $x$ является неположительным числом ($x \le 0$), то $|x| = -x$.

Подставим это в уравнение функции:

$y = -x - x = -2x$.

Следовательно, необходимо построить график линейной функции $y = -2x$ на промежутке $x \in (-\infty, 0]$.

Графиком является луч, выходящий из начала координат (точка $(0, 0)$, так как при $x=0, y=-2 \cdot 0 = 0$) и проходящий через второй координатный квадрант. Для построения можно взять контрольную точку, например, при $x=-1, y=-2(-1)=2$. Таким образом, луч проходит через точку $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -2x$, начинающийся в точке $(0, 0)$ и расположенный во второй координатной четверти.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$.

Используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = |x| - 2x$.

Для того чтобы построить график, раскроем модуль, рассмотрев два случая:

a) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x - 2x = -x$.

На промежутке $[0, +\infty)$ график функции совпадает с лучом $y = -x$, который является биссектрисой четвертого координатного угла и выходит из начала координат.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x - 2x = -3x$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с лучом $y = -3x$, который расположен во второй координатной четверти и также выходит из начала координат.

Итоговый график состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$: луча $y = -3x$ для $x < 0$ и луча $y = -x$ для $x \ge 0$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность двух лучей, выходящих из начала координат: $y = -3x$ при $x < 0$ и $y = -x$ при $x \ge 0$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:

$-x \ge 0 \implies x \le 0$

$-x^3 \ge 0 \implies x^3 \le 0 \implies x \le 0$

Область определения функции: $x \in (-\infty, 0]$.

На этой области определения мы можем использовать свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4}$.

Используя свойство $\sqrt[4]{a^4} = |a|$, получаем:

$y = |x|$.

Так как область определения функции $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = -x$ при $x \le 0$.

Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой второй координатной четверти.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенный во второй координатной четверти.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Выражение под корнем $x^6$ всегда неотрицательно. Таким образом, область определения: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Упростим числитель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

a) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{x}{x} = 1$.

Это горизонтальный луч $y = 1$, расположенный в первой координатной четверти. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику, так как $x \neq 0$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{-x}{x} = -1$.

Это горизонтальный луч $y = -1$, расположенный в третьей координатной четверти. Точка $(0, -1)$ не принадлежит графику.

График состоит из двух открытых лучей: $y=1$ для $x > 0$ и $y=-1$ для $x < 0$. В точке $x=0$ функция не определена (разрыв).

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча $y=1$ при $x > 0$ (с выколотой начальной точкой $(0,1)$) и луча $y=-1$ при $x < 0$ (с выколотой начальной точкой $(0,-1)$).