Номер 9.32, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.32. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3}$;

2) $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$;

3) $\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3}$;

4) $\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3}$ используется свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ при условии, что $a \ge 0$.

В первую очередь, необходимо определить знак подкоренного выражения в основании степени, то есть $\sqrt{6}-2$.

Мы знаем, что $4 < 6 < 9$. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, что соответствует $2 < \sqrt{6} < 3$.

Из этого следует, что разность $\sqrt{6}-2$ является положительным числом.

Поскольку основание степени положительно, мы можем применить свойство корня и сократить показатель корня (6) и показатель степени (3) на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3} = \sqrt[6/3]{(\sqrt{6}-2)^{3/3}} = \sqrt[2]{(\sqrt{6}-2)^1} = \sqrt{\sqrt{6}-2}$

Ответ: $\sqrt{\sqrt{6}-2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$ необходимо учесть, что показатель корня (4) является четным числом.

Для четных показателей корня справедливо тождество $\sqrt[2k]{a^{2m}} = \sqrt[k]{|a|^m}$. Это гарантирует, что результат преобразования будет неотрицательным, как и исходное выражение $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$ (корень четной степени из неотрицательного числа).

Применяя это свойство, мы сокращаем показатель корня (4) и показатель степени (2) на 2:

$\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2} = \sqrt[4/2]{|1-\sqrt{2}|^{2/2}} = \sqrt[2]{|1-\sqrt{2}|} = \sqrt{|1-\sqrt{2}|}$

Теперь определим знак выражения $1-\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, то $1 < \sqrt{2}$, и, следовательно, $1-\sqrt{2} < 0$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу:

$|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\sqrt{|1-\sqrt{2}|} = \sqrt{\sqrt{2}-1}$

Ответ: $\sqrt{\sqrt{2}-1}$

3) Упростим выражение $\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3}$.

В этом случае показатель корня (9) — нечетное число. Для нечетных корней свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ выполняется для любого действительного числа $a$, при этом знак выражения сохраняется. Раскрытие модуля не требуется.

Сократим показатель корня (9) и показатель степени (3) на их общий делитель 3:

$\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3} = \sqrt[9/3]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{3/3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^1} = \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2}$.

Здесь показатель корня (6) — четное число. Как и в пункте 2, необходимо использовать свойство с модулем, чтобы гарантировать неотрицательность результата: $\sqrt[2k]{a^{2m}} = \sqrt[k]{|a|^m}$.

Сокращаем показатель корня (6) и показатель степени (2) на их общий делитель 2:

$\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2} = \sqrt[6/2]{|\sqrt{3}-2|^{2/2}} = \sqrt[3]{|\sqrt{3}-2|}$

Определим знак выражения в скобках: $\sqrt{3}-2$. Так как $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, то $\sqrt{3} < 2$, и, следовательно, $\sqrt{3}-2 < 0$.

Находим модуль этого выражения:

$|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = 2-\sqrt{3}$

Подставляем результат в упрощенное выражение:

$\sqrt[3]{|\sqrt{3}-2|} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

Ответ: $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$