Номер 9.27, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.27. Вычислите значение выражения:

1) $ (5\sqrt[3]{4} + 0,5\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{500})\sqrt[3]{2}; $

2) $ (2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{100})(\sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}); $

3) $ \frac{\sqrt[3]{9} - 6\sqrt[3]{72} + 2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}}; $

4) $ \frac{(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2}{4 + 3\sqrt{2}}. $

1) $(5\sqrt[3]{4} + 0,5\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{500})\sqrt[3]{2}$

Для начала упростим кубические корни в скобках. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был кубом целого числа.

$\sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 4} = 5\sqrt[3]{4}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$(5\sqrt[3]{4} + 0,5 \cdot 3\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{4})\sqrt[3]{2} = (5\sqrt[3]{4} + 1,5\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{4})\sqrt[3]{2}$

Сложим и вычтем слагаемые в скобках, так как у них одинаковый радикал:

$(5 + 1,5 - 5)\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = 1,5\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$1,5 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 2} = 1,5 \cdot \sqrt[3]{8}$

Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем:

$1,5 \cdot 2 = 3$

Ответ: 3

2) $(2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{100})(\sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})$

Это выражение можно упростить, если заметить, что оно соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{10}$ и $b = \sqrt[3]{4}$. Тогда вторая скобка в выражении равна $(a+b)$.

Теперь проверим, соответствует ли первая скобка выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

$a^2 = (\sqrt[3]{10})^2 = \sqrt[3]{100}$

$b^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

$ab = \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$

Таким образом, выражение $a^2 - ab + b^2$ равно:

$\sqrt[3]{100} - 2\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{2}$

Переставив слагаемые, мы видим, что это в точности совпадает с первой скобкой исходного выражения: $2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{100}$.

Следовательно, всё выражение равно $a^3 + b^3$:

$(\sqrt[3]{10})^3 + (\sqrt[3]{4})^3 = 10 + 4 = 14$

Ответ: 14

3) $\frac{\sqrt[3]{9} - 6\sqrt[3]{72} + 2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} - \frac{6\sqrt[3]{72}}{\sqrt[3]{9}} + \frac{2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}}$

Теперь упростим каждое слагаемое, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

Первый член: $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = 1$

Второй член: $- \frac{6\sqrt[3]{72}}{\sqrt[3]{9}} = -6\sqrt[3]{\frac{72}{9}} = -6\sqrt[3]{8} = -6 \cdot 2 = -12$

Третий член: $\frac{2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}} = 2\sqrt[3]{\frac{1125}{9}} = 2\sqrt[3]{125} = 2 \cdot 5 = 10$

Теперь сложим полученные значения:

$1 - 12 + 10 = -1$

Ответ: -1

4) $\frac{(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2}{4 + 3\sqrt{2}}$

Раскроем квадрат в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2$

Упростим каждый член:

$(\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2}$

$2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = 2 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 8} = 2 \cdot \sqrt[4]{16} = 2 \cdot 2 = 4$

$(\sqrt[4]{8})^2 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Сложим полученные члены, чтобы найти значение числителя:

$\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} = 4 + 3\sqrt{2}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{4 + 3\sqrt{2}}{4 + 3\sqrt{2}}$

Так как числитель и знаменатель равны, дробь равна 1.

Ответ: 1