Номер 9.22, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.22. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5;$

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5;$

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4;$

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4?$

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$

Преобразуем левую часть равенства. Корень шестой степени является корнем четной степени. Выражение под корнем $a^{30}$ можно представить в виде $(a^5)^6$. По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, получаем:

$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$

Таким образом, исходное равенство принимает вид:

$|a^5| = a^5$

Равенство вида $|x| = x$ истинно только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае $x = a^5$. Следовательно, должно выполняться неравенство $a^5 \ge 0$. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, знак выражения $a^5$ совпадает со знаком $a$. Значит, неравенство $a^5 \ge 0$ равносильно неравенству $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$

Аналогично предыдущему пункту, левая часть равенства преобразуется к виду $|a^5|$:

$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$

Тогда исходное равенство можно переписать так:

$|a^5| = -a^5$

Равенство вида $|x| = -x$ истинно только тогда, когда $x \le 0$. В данном случае $x = a^5$. Следовательно, должно выполняться неравенство $a^5 \le 0$. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, знак выражения $a^5$ совпадает со знаком $a$. Значит, неравенство $a^5 \le 0$ равносильно неравенству $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$

Рассмотрим область определения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $\sqrt[4]{a^4}$. По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, имеем $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Это выражение определено для любого действительного числа $a$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{a})^4$. Арифметический корень четной степени $\sqrt[4]{a}$ определен только для неотрицательных подкоренных выражений, то есть при $a \ge 0$. Если это условие выполнено, то по определению корня $(\sqrt[4]{a})^4 = a$.

Для того чтобы исходное равенство имело смысл, обе его части должны быть определены. Это возможно только при $a \ge 0$. При $a \ge 0$ левая часть $|a| = a$, и правая часть равна $a$. Равенство $a=a$ является тождеством для всех $a$ из области определения.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$

Рассмотрим область определения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Выражение определено для любого действительного числа $a$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{-a})^4$. Корень четной степени $\sqrt[4]{-a}$ определен только при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: $-a \ge 0$, что равносильно $a \le 0$. Если это условие выполнено, то $(\sqrt[4]{-a})^4 = -a$.

Равенство может выполняться только для тех значений $a$, при которых обе части определены, то есть при $a \le 0$. Для таких $a$ левая часть $|a| = -a$ (поскольку $a$ неположительно). Правая часть равна $-a$. Равенство $-a = -a$ является тождеством для всех $a$ из области определения.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.