Номер 9.25, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.25. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{m^6}$, если $m \geq 0$;

2) $\sqrt[4]{n^4}$, если $n \leq 0$;

3) $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \leq 0$;

4) $\sqrt[6]{c^{24}}$;

5) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если $b \leq 0$;

6) $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \geq 0$;

7) $\sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если $a \leq 0, b \geq 0$;

8) $-1,2x^6\sqrt{64x^{30}}$, если $x \leq 0$.

1) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном выражении степень корня $6$ – четное число, поэтому $\sqrt[6]{m^6} = |m|$. По условию задачи $m \ge 0$, а модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно, $|m| = m$.
Ответ: $m$.

2) Степень корня $4$ – четное число, поэтому применяем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Получаем $\sqrt[4]{n^4} = |n|$. По условию $n \le 0$, а модуль неположительного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком. Таким образом, $|n| = -n$.
Ответ: $-n$.

3) Сначала преобразуем подкоренное выражение. Так как $256 = 2^8$, то $256k^8 = 2^8k^8 = (2k)^8$. Выражение принимает вид $\sqrt[8]{(2k)^8}$. Степень корня $8$ – четное число, поэтому $\sqrt[8]{(2k)^8} = |2k|$. Модуль произведения равен произведению модулей: $|2k| = |2| \cdot |k| = 2|k|$. По условию $k \le 0$, значит $|k| = -k$. Окончательно получаем $2(-k) = -2k$.
Ответ: $-2k$.

4) Представим подкоренное выражение $c^{24}$ в виде степени с показателем $6$: $c^{24} = (c^4)^6$. Тогда исходное выражение равно $\sqrt[6]{(c^4)^6}$. Так как степень корня $6$ – четная, то $\sqrt[6]{(c^4)^6} = |c^4|$. Поскольку показатель степени $4$ – четный, выражение $c^4$ всегда неотрицательно ($c^4 \ge 0$) для любого действительного значения $c$. Следовательно, $|c^4| = c^4$.
Ответ: $c^4$.

5) Корень квадратный, его степень $2$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение: $0,25 = (0,5)^2$ и $b^{14} = (b^7)^2$. Таким образом, $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5)^2(b^7)^2} = \sqrt{(0,5b^7)^2}$. Применяя свойство корня четной степени, получаем $|0,5b^7| = 0,5|b^7|$. По условию $b \le 0$. Так как степень $7$ – нечетная, то при $b \le 0$ выполняется и $b^7 \le 0$. Значит, $|b^7| = -b^7$. Окончательно: $0,5(-b^7) = -0,5b^7$.
Ответ: $-0,5b^7$.

6) Степень корня $4$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение, зная что $81=3^4$ и $x^8=(x^2)^4$: $\sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{3^4(x^2)^4y^4} = \sqrt[4]{(3x^2y)^4}$. Упрощаем, используя свойство корня четной степени: $|3x^2y| = |3| \cdot |x^2| \cdot |y| = 3|x^2||y|$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^2|=x^2$. По условию $y \ge 0$, поэтому $|y|=y$. В результате получаем $3x^2y$.
Ответ: $3x^2y$.

7) Корень квадратный, степень $2$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение: $0,01 = (0,1)^2$, $a^6 = (a^3)^2$, $b^{10} = (b^5)^2$. Получаем $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2}$. Это равно $|0,1a^3b^5| = 0,1|a^3||b^5|$. По условию $a \le 0$, а так как степень $3$ нечетная, то $a^3 \le 0$, и $|a^3| = -a^3$. По условию $b \ge 0$, а так как степень $5$ нечетная, то $b^5 \ge 0$, и $|b^5| = b^5$. Подставляя, получаем $0,1(-a^3)b^5 = -0,1a^3b^5$.
Ответ: $-0,1a^3b^5$.

8) Рассмотрим сначала корень $\sqrt[6]{64x^{30}}$. Степень корня $6$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение: $64=2^6$ и $x^{30}=(x^5)^6$. Тогда $\sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{2^6(x^5)^6} = \sqrt[6]{(2x^5)^6}$. Упрощаем: $|2x^5| = 2|x^5|$. По условию $x \le 0$, а так как степень $5$ нечетная, то $x^5 \le 0$, и $|x^5| = -x^5$. Значит, корень равен $2(-x^5) = -2x^5$. Теперь подставим это в исходное выражение: $-1,2x \cdot (-2x^5) = (-1,2 \cdot -2) \cdot (x \cdot x^5) = 2,4x^{1+5} = 2,4x^6$.
Ответ: $2,4x^6$.