Номер 9.23, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.23. При каких значениях a и b выполняется равенство:

1) $ \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} $;

2) $ \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} $;

3) $ \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b} $;

4) $ \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} $?

1) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$.

Корень четной степени (в данном случае, 4-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Это накладывает следующие ограничения:

1. Для левой части $\sqrt[4]{ab}$ должно выполняться условие $ab \ge 0$. Это означает, что переменные $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо одна из них (или обе) равна нулю. То есть, либо $a \ge 0$ и $b \ge 0$, либо $a \le 0$ и $b \le 0$.

2. Для правой части $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$ должны быть определены оба множителя:

• $\sqrt[4]{-a}$ определен при $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
• $\sqrt[4]{-b}$ определен при $-b \ge 0$, что эквивалентно $b \le 0$.

Чтобы равенство имело смысл, должны выполняться все условия одновременно. Совмещая условия из п.1 и п.2, получаем, что единственно возможный случай — это $a \le 0$ и $b \le 0$.

Проверим, выполняется ли равенство при этих условиях. Если $a \le 0$ и $b \le 0$, то $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$. Для неотрицательных чисел справедливо свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. Тогда правая часть преобразуется к виду: $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{ab}$. Правая часть равна левой. Следовательно, равенство выполняется при $a \le 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \le 0$, $b \le 0$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$.

Аналогично предыдущему пункту, анализируем области определения для корней четной степени:

1. Для левой части $\sqrt[4]{-ab}$ должно выполняться $-ab \ge 0$, что эквивалентно $ab \le 0$. Это означает, что переменные $a$ и $b$ должны иметь разные знаки, либо одна из них (или обе) равна нулю. То есть, либо $a \ge 0$ и $b \le 0$, либо $a \le 0$ и $b \ge 0$.

2. Для правой части $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$:

• $\sqrt[4]{a}$ определен при $a \ge 0$.
• $\sqrt[4]{-b}$ определен при $-b \ge 0$, то есть $b \le 0$.

Объединяя условия для обеих частей, получаем, что одновременно должны выполняться условия $a \ge 0$ и $b \le 0$. Это удовлетворяет и условию $ab \le 0$.

Проверим, выполняется ли равенство при $a \ge 0$ и $b \le 0$. В этом случае $-b \ge 0$. Так как $a$ и $-b$ неотрицательны, мы можем применить свойство корней: $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{a(-b)} = \sqrt[4]{-ab}$. Равенство верно. Следовательно, оно выполняется при $a \ge 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \ge 0$, $b \le 0$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}$.

Корень нечетной степени (в данном случае, 5-й степени) определен для любого действительного подкоренного выражения. Поэтому левая и правая части равенства определены для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для нечетного $n$ справедливо для любых действительных чисел $x$ и $y$. В данном случае $n=5$ (нечетное), поэтому равенство является тождеством и выполняется для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$.

Как и в предыдущем пункте, корень нечетной степени определен для любых действительных $a$ и $b$.

Преобразуем правую часть равенства, используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для нечетного $n$: $\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a)(-b)} = \sqrt[5]{ab}$.

В результате преобразования правая часть стала идентична левой. Таким образом, это равенство является тождеством и выполняется для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.