Номер 9.17, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.17. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2\sqrt{3}}$;

2) $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$;

3) $\sqrt[4]{a^3\sqrt{a}}$;

4) $\sqrt[5]{b^6\sqrt{b}}$;

5) $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$;

6) $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{2\sqrt{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний знак корня. Поскольку степень внешнего корня равна 2, множитель 2 вносится под внутренний корень в квадрате:

$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$

Далее используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. В данном случае n=2 и m=2:

$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$

Ответ: $\sqrt[4]{12}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$. Внесем множитель 3 под внутренний знак корня. Степень внешнего корня равна 3, поэтому 3 вносится под внутренний корень в кубе:

$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{27 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{54}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, где n=3 и m=3:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3 \cdot 3]{54} = \sqrt[9]{54}$

Ответ: $\sqrt[9]{54}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}}$, предполагая, что $a \ge 0$. Внесем множитель $a^3$ под внутренний знак корня:

$\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{(a^3)^3 \cdot a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^9 \cdot a^1}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{10}}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{10}}} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{10}} = \sqrt[12]{a^{10}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2:

$\sqrt[12]{a^{10}} = \sqrt[6 \cdot 2]{a^{5 \cdot 2}} = \sqrt[6]{a^5}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^5}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[5]{b^6\sqrt[6]{b}}$, предполагая, что $b \ge 0$. Внесем множитель $b^6$ под внутренний знак корня:

$\sqrt[5]{b^6\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{(b^6)^6 \cdot b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{36} \cdot b^1}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{37}}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{37}}} = \sqrt[5 \cdot 6]{b^{37}} = \sqrt[30]{b^{37}}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[30]{b^{37}} = \sqrt[30]{b^{30} \cdot b^7} = \sqrt[30]{b^{30}} \cdot \sqrt[30]{b^7} = b\sqrt[30]{b^7}$

Ответ: $b\sqrt[30]{b^7}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$, предполагая, что $x \ge 0$. Внесем множитель $x^3$ под внутренний знак корня:

$\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^9 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}} = \sqrt[8 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[24]{x^{16}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 8:

$\sqrt[24]{x^{16}} = \sqrt[3 \cdot 8]{x^{2 \cdot 8}} = \sqrt[3]{x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

6) Упростим выражение $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$. Будем преобразовывать его, начиная с самого внутреннего корня.

Сначала внесем 2 под самый правый знак корня: $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{8}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{2\sqrt{\sqrt{8}}}$.

Теперь объединим два квадратных корня: $\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[2\cdot2]{8} = \sqrt[4]{8}$.

Получаем: $\sqrt[3]{2\sqrt[4]{8}}$.

Внесем 2 под знак корня четвертой степени: $2\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{16 \cdot 8} = \sqrt[4]{128}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{128}}$.

Наконец, объединим оставшиеся корни: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[3\cdot4]{128} = \sqrt[12]{128}$.

Зная, что $128 = 2^7$, можно записать ответ в виде $\sqrt[12]{2^7}$.

Ответ: $\sqrt[12]{128}$.