Номер 9.18, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.18. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[3]{3\sqrt{3}};$

3) $\sqrt[3]{b^4\sqrt{b}};$

4) $\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}};$

5) $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}};$

6) $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt{a\sqrt{a}}$ воспользуемся свойствами степеней, представив корни в виде степеней с рациональными показателями. Выражение под внешним корнем преобразуется следующим образом: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{1 + 1/2} = a^{3/2}$. Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt{a^{3/2}}$. Применяя свойство степени степени ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$), получаем: $(a^{3/2})^{1/2} = a^{(3/2) \cdot (1/2)} = a^{3/4}$. В виде корня это записывается как $\sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$, используя степени с рациональными показателями. Сначала преобразуем выражение под кубическим корнем: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$. Тогда исходное выражение равно $\sqrt[3]{3^{3/2}}$. Представим кубический корень как возведение в степень $1/3$ и перемножим показатели: $(3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2) \cdot (1/3)} = 3^{3/6} = 3^{1/2}$, что равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$ перейдем к степеням. Выражение под кубическим корнем: $b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{1/4} = b^{1 + 1/4} = b^{5/4}$. Исходное выражение принимает вид $\sqrt[3]{b^{5/4}}$. Возведем в степень $1/3$: $(b^{5/4})^{1/3} = b^{(5/4) \cdot (1/3)} = b^{5/12}$. В виде корня это $\sqrt[12]{b^5}$.

Ответ: $\sqrt[12]{b^5}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}}$. Запишем его через степени: $\sqrt[9]{c^2 \cdot c^{1/4}}$. Сложим показатели у $c$ под корнем: $c^2 \cdot c^{1/4} = c^{2 + 1/4} = c^{8/4 + 1/4} = c^{9/4}$. Получаем $\sqrt[9]{c^{9/4}}$. Теперь возведем в степень $1/9$: $(c^{9/4})^{1/9} = c^{(9/4) \cdot (1/9)} = c^{9/36} = c^{1/4}$. Результат в виде корня: $\sqrt[4]{c}$.

Ответ: $\sqrt[4]{c}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}$. Преобразуем выражение под корнем 5-й степени: $x^2\sqrt[6]{x^{13}} = x^2 \cdot x^{13/6} = x^{2 + 13/6} = x^{12/6 + 13/6} = x^{25/6}$. Исходное выражение равно $\sqrt[5]{x^{25/6}}$. Возводим в степень $1/5$: $(x^{25/6})^{1/5} = x^{(25/6) \cdot (1/5)} = x^{25/30} = x^{5/6}$. В виде корня это $\sqrt[6]{x^5}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x^5}$.

6) Упростим выражение с вложенными корнями $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}$, двигаясь изнутри наружу.
1. Сначала упростим самое внутреннее выражение: $a\sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{1/3} = a^{1 + 1/3} = a^{4/3}$.
2. Подставим результат в средний корень: $\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{a^{4/3}} = (a^{4/3})^{1/4} = a^{1/3}$.
3. Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt[4]{a \cdot a^{1/3}}$.
4. Упростим выражение под внешним корнем: $a \cdot a^{1/3} = a^{1 + 1/3} = a^{4/3}$.
5. Вычислим внешний корень: $\sqrt[4]{a^{4/3}} = (a^{4/3})^{1/4} = a^{1/3}$.
Запишем результат в виде корня: $\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a}$.