Страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.18. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[3]{3\sqrt{3}};$

3) $\sqrt[3]{b^4\sqrt{b}};$

4) $\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}};$

5) $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}};$

6) $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt{a\sqrt{a}}$ воспользуемся свойствами степеней, представив корни в виде степеней с рациональными показателями. Выражение под внешним корнем преобразуется следующим образом: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{1 + 1/2} = a^{3/2}$. Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt{a^{3/2}}$. Применяя свойство степени степени ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$), получаем: $(a^{3/2})^{1/2} = a^{(3/2) \cdot (1/2)} = a^{3/4}$. В виде корня это записывается как $\sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$, используя степени с рациональными показателями. Сначала преобразуем выражение под кубическим корнем: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$. Тогда исходное выражение равно $\sqrt[3]{3^{3/2}}$. Представим кубический корень как возведение в степень $1/3$ и перемножим показатели: $(3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2) \cdot (1/3)} = 3^{3/6} = 3^{1/2}$, что равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$ перейдем к степеням. Выражение под кубическим корнем: $b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{1/4} = b^{1 + 1/4} = b^{5/4}$. Исходное выражение принимает вид $\sqrt[3]{b^{5/4}}$. Возведем в степень $1/3$: $(b^{5/4})^{1/3} = b^{(5/4) \cdot (1/3)} = b^{5/12}$. В виде корня это $\sqrt[12]{b^5}$.

Ответ: $\sqrt[12]{b^5}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}}$. Запишем его через степени: $\sqrt[9]{c^2 \cdot c^{1/4}}$. Сложим показатели у $c$ под корнем: $c^2 \cdot c^{1/4} = c^{2 + 1/4} = c^{8/4 + 1/4} = c^{9/4}$. Получаем $\sqrt[9]{c^{9/4}}$. Теперь возведем в степень $1/9$: $(c^{9/4})^{1/9} = c^{(9/4) \cdot (1/9)} = c^{9/36} = c^{1/4}$. Результат в виде корня: $\sqrt[4]{c}$.

Ответ: $\sqrt[4]{c}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}$. Преобразуем выражение под корнем 5-й степени: $x^2\sqrt[6]{x^{13}} = x^2 \cdot x^{13/6} = x^{2 + 13/6} = x^{12/6 + 13/6} = x^{25/6}$. Исходное выражение равно $\sqrt[5]{x^{25/6}}$. Возводим в степень $1/5$: $(x^{25/6})^{1/5} = x^{(25/6) \cdot (1/5)} = x^{25/30} = x^{5/6}$. В виде корня это $\sqrt[6]{x^5}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x^5}$.

6) Упростим выражение с вложенными корнями $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}$, двигаясь изнутри наружу.
1. Сначала упростим самое внутреннее выражение: $a\sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{1/3} = a^{1 + 1/3} = a^{4/3}$.
2. Подставим результат в средний корень: $\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{a^{4/3}} = (a^{4/3})^{1/4} = a^{1/3}$.
3. Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt[4]{a \cdot a^{1/3}}$.
4. Упростим выражение под внешним корнем: $a \cdot a^{1/3} = a^{1 + 1/3} = a^{4/3}$.
5. Вычислим внешний корень: $\sqrt[4]{a^{4/3}} = (a^{4/3})^{1/4} = a^{1/3}$.
Запишем результат в виде корня: $\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

9.19. Упростите выражение:

1) $ (1+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2})(1-\sqrt[3]{a}); $

2) $ (1+\sqrt{a})(1+\sqrt[4]{a})(1-\sqrt[4]{a}). $

1) Рассматриваем выражение $(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})(1 - \sqrt[3]{a})$.
Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения для разности кубов: $b^3 - c^3 = (b - c)(b^2 + bc + c^2)$.
Для наглядности поменяем множители местами: $(1 - \sqrt[3]{a})(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})$.
В данном случае $b = 1$ и $c = \sqrt[3]{a}$.
Первый множитель $(1 - \sqrt[3]{a})$ соответствует $(b-c)$.
Второй множитель $(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})$ можно представить как $(1^2 + 1 \cdot \sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2)$, что соответствует $(b^2+bc+c^2)$.
Следовательно, все выражение является разностью кубов $b^3 - c^3$:
$1^3 - (\sqrt[3]{a})^3 = 1 - a$.
Ответ: $1 - a$.

2) Рассматриваем выражение $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$.
Для его упрощения будем дважды использовать формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$.
Сначала сгруппируем и упростим последние два множителя: $(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$.
Применяя формулу, где $x=1$ и $y=\sqrt[4]{a}$, получаем:
$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a}$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$.
Снова применяем формулу разности квадратов, но теперь $x=1$ и $y=\sqrt{a}$:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.
Ответ: $1 - a$.

9.20. Упростите выражение

$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}).$

Для упрощения выражения $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$ приведем все корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 3 и 6 равно 6.
Представим члены выражения через корень 6-й степени, используя свойство корня $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[nk]{x^{mk}}$:
$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^2} = \sqrt[6]{a^2} = (\sqrt[6]{a})^2$
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 2]{b^2} = \sqrt[6]{b^2} = (\sqrt[6]{b})^2$
Также представим корень из произведения как произведение корней: $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$.
Подставим эти преобразованные члены обратно в исходное выражение:
$((\sqrt[6]{a})^2 - \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} + (\sqrt[6]{b})^2)(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$
Для наглядности введем замену переменных. Пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.
Тогда выражение можно переписать в виде:
$(x^2 - xy + y^2)(x + y)$
Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Применив эту формулу к нашему выражению, получим $x^3 + y^3$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы вернуться к исходным переменным $a$ и $b$:
$x^3 = (\sqrt[6]{a})^3 = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
$y^3 = (\sqrt[6]{b})^3 = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}$
Таким образом, итоговое упрощенное выражение равно $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

9.21. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{a^4} = a$;

2) $\sqrt[4]{a^4} = -a$;

3) $\sqrt[3]{a^3} = a$;

4) $\sqrt[3]{a^3} = -a$;

5) $\sqrt[4]{(a-5)^3} = (\sqrt[4]{a-5})^3$;

6) $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$?

1) Рассматриваем равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$.

По определению арифметического корня четной степени, $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В нашем случае, при $n=2$, имеем $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно уравнению $|a| = a$.

По определению модуля числа, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ неотрицательно.

Ответ: $a \ge 0$.

2) Рассматриваем равенство $\sqrt[4]{a^4} = -a$.

Как и в предыдущем пункте, левая часть равна $|a|$. Получаем уравнение $|a| = -a$.

По определению модуля числа, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ неположительно.

Ответ: $a \le 0$.

3) Рассматриваем равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Корень нечетной степени из числа, возведенного в ту же степень, равен самому числу: $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$ для любого действительного $x$.

Следовательно, $\sqrt[3]{a^3} = a$. Равенство принимает вид $a = a$, что является тождеством.

Это означает, что равенство верно для любого действительного значения $a$.

Ответ: $a$ - любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).

4) Рассматриваем равенство $\sqrt[3]{a^3} = -a$.

По свойству корня нечетной степени, $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид $a = -a$.

Перенеся $-a$ в левую часть, получаем $a + a = 0$, или $2a = 0$. Отсюда $a = 0$.

Равенство выполняется только при $a=0$.

Ответ: $a = 0$.

5) Рассматриваем равенство $\sqrt[4]{(a-5)^3} = (\sqrt[4]{a-5})^3$.

Это равенство вида $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$. Оно является тождеством на общей области определения левой и правой частей.

Найдем область определения для левой части: $\sqrt[4]{(a-5)^3}$. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(a-5)^3 \ge 0$. Это неравенство равносильно $a-5 \ge 0$, откуда $a \ge 5$.

Найдем область определения для правой части: $(\sqrt[4]{a-5})^3$. Выражение под корнем четной степени также должно быть неотрицательным: $a-5 \ge 0$, откуда $a \ge 5$.

Области определения обеих частей совпадают. Следовательно, равенство выполняется при всех $a$, принадлежащих этой области.

Ответ: $a \ge 5$.

6) Рассматриваем равенство $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$.

Это равенство также имеет вид $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$.

Найдем область определения. Корень нечетной степени ($n=3$) определен для любого действительного подкоренного выражения.

Для левой части $\sqrt[3]{(a-5)^4}$: выражение $(a-5)^4$ определено при любом $a$.

Для правой части $(\sqrt[3]{a-5})^4$: выражение $\sqrt[3]{a-5}$ определено при любом $a$.

Так как обе части равенства определены для любого действительного числа $a$, и для нечетного показателя корня свойство $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ является тождеством, то данное равенство верно при любом $a$.

Ответ: $a$ - любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).

9.22. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5;$

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5;$

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4;$

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4?$

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$

Преобразуем левую часть равенства. Корень шестой степени является корнем четной степени. Выражение под корнем $a^{30}$ можно представить в виде $(a^5)^6$. По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, получаем:

$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$

Таким образом, исходное равенство принимает вид:

$|a^5| = a^5$

Равенство вида $|x| = x$ истинно только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае $x = a^5$. Следовательно, должно выполняться неравенство $a^5 \ge 0$. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, знак выражения $a^5$ совпадает со знаком $a$. Значит, неравенство $a^5 \ge 0$ равносильно неравенству $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$

Аналогично предыдущему пункту, левая часть равенства преобразуется к виду $|a^5|$:

$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$

Тогда исходное равенство можно переписать так:

$|a^5| = -a^5$

Равенство вида $|x| = -x$ истинно только тогда, когда $x \le 0$. В данном случае $x = a^5$. Следовательно, должно выполняться неравенство $a^5 \le 0$. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, знак выражения $a^5$ совпадает со знаком $a$. Значит, неравенство $a^5 \le 0$ равносильно неравенству $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$

Рассмотрим область определения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $\sqrt[4]{a^4}$. По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, имеем $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Это выражение определено для любого действительного числа $a$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{a})^4$. Арифметический корень четной степени $\sqrt[4]{a}$ определен только для неотрицательных подкоренных выражений, то есть при $a \ge 0$. Если это условие выполнено, то по определению корня $(\sqrt[4]{a})^4 = a$.

Для того чтобы исходное равенство имело смысл, обе его части должны быть определены. Это возможно только при $a \ge 0$. При $a \ge 0$ левая часть $|a| = a$, и правая часть равна $a$. Равенство $a=a$ является тождеством для всех $a$ из области определения.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$

Рассмотрим область определения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Выражение определено для любого действительного числа $a$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{-a})^4$. Корень четной степени $\sqrt[4]{-a}$ определен только при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: $-a \ge 0$, что равносильно $a \le 0$. Если это условие выполнено, то $(\sqrt[4]{-a})^4 = -a$.

Равенство может выполняться только для тех значений $a$, при которых обе части определены, то есть при $a \le 0$. Для таких $a$ левая часть $|a| = -a$ (поскольку $a$ неположительно). Правая часть равна $-a$. Равенство $-a = -a$ является тождеством для всех $a$ из области определения.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.

9.23. При каких значениях a и b выполняется равенство:

1) $ \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} $;

2) $ \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} $;

3) $ \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b} $;

4) $ \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} $?

1) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$.

Корень четной степени (в данном случае, 4-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Это накладывает следующие ограничения:

1. Для левой части $\sqrt[4]{ab}$ должно выполняться условие $ab \ge 0$. Это означает, что переменные $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо одна из них (или обе) равна нулю. То есть, либо $a \ge 0$ и $b \ge 0$, либо $a \le 0$ и $b \le 0$.

2. Для правой части $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$ должны быть определены оба множителя:

• $\sqrt[4]{-a}$ определен при $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
• $\sqrt[4]{-b}$ определен при $-b \ge 0$, что эквивалентно $b \le 0$.

Чтобы равенство имело смысл, должны выполняться все условия одновременно. Совмещая условия из п.1 и п.2, получаем, что единственно возможный случай — это $a \le 0$ и $b \le 0$.

Проверим, выполняется ли равенство при этих условиях. Если $a \le 0$ и $b \le 0$, то $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$. Для неотрицательных чисел справедливо свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. Тогда правая часть преобразуется к виду: $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{ab}$. Правая часть равна левой. Следовательно, равенство выполняется при $a \le 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \le 0$, $b \le 0$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$.

Аналогично предыдущему пункту, анализируем области определения для корней четной степени:

1. Для левой части $\sqrt[4]{-ab}$ должно выполняться $-ab \ge 0$, что эквивалентно $ab \le 0$. Это означает, что переменные $a$ и $b$ должны иметь разные знаки, либо одна из них (или обе) равна нулю. То есть, либо $a \ge 0$ и $b \le 0$, либо $a \le 0$ и $b \ge 0$.

2. Для правой части $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$:

• $\sqrt[4]{a}$ определен при $a \ge 0$.
• $\sqrt[4]{-b}$ определен при $-b \ge 0$, то есть $b \le 0$.

Объединяя условия для обеих частей, получаем, что одновременно должны выполняться условия $a \ge 0$ и $b \le 0$. Это удовлетворяет и условию $ab \le 0$.

Проверим, выполняется ли равенство при $a \ge 0$ и $b \le 0$. В этом случае $-b \ge 0$. Так как $a$ и $-b$ неотрицательны, мы можем применить свойство корней: $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{a(-b)} = \sqrt[4]{-ab}$. Равенство верно. Следовательно, оно выполняется при $a \ge 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \ge 0$, $b \le 0$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}$.

Корень нечетной степени (в данном случае, 5-й степени) определен для любого действительного подкоренного выражения. Поэтому левая и правая части равенства определены для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для нечетного $n$ справедливо для любых действительных чисел $x$ и $y$. В данном случае $n=5$ (нечетное), поэтому равенство является тождеством и выполняется для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$.

Как и в предыдущем пункте, корень нечетной степени определен для любых действительных $a$ и $b$.

Преобразуем правую часть равенства, используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для нечетного $n$: $\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a)(-b)} = \sqrt[5]{ab}$.

В результате преобразования правая часть стала идентична левой. Таким образом, это равенство является тождеством и выполняется для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

9.24. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2};$

2) $\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x};$

3) $\sqrt[3]{(x - 6)(x - 10)} = \sqrt[3]{x - 6} \cdot \sqrt[3]{x - 10}?$

1) Равенство $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x-2} \cdot \sqrt[4]{x+2}$ является частным случаем свойства корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Поскольку степень корня $n=4$ является четным числом, данное свойство справедливо только при условии, что оба выражения под корнями в правой части уравнения неотрицательны.
Правая часть $\sqrt[4]{x-2} \cdot \sqrt[4]{x+2}$ определена в действительных числах, если одновременно выполняются следующие условия:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$
Пересечением решений этих двух неравенств является промежуток $x \ge 2$.
При $x \ge 2$ оба множителя $x-2$ и $x+2$ неотрицательны. Следовательно, их произведение $x^2 - 4$ также неотрицательно, и левая часть равенства $\sqrt[4]{x^2-4}$ определена. Таким образом, при $x \ge 2$ равенство выполняется.
Если $x \le -2$, то левая часть $\sqrt[4]{x^2-4}$ определена, так как $x^2-4 \ge 0$. Однако в правой части оба подкоренных выражения $x-2$ и $x+2$ отрицательны, и корни четной степени из них не определены в области действительных чисел.
Следовательно, равенство выполняется только при $x \ge 2$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt[8]{(x-3)(7-x)} = \sqrt[8]{x-3} \cdot \sqrt[8]{7-x}$.
Степень корня $n=8$ также является четной. Равенство будет верным только в том случае, когда подкоренные выражения в правой части неотрицательны.
Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$
Решение системы:
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases}$
Общим решением является отрезок $3 \le x \le 7$.
На этом отрезке оба выражения $x-3$ и $7-x$ неотрицательны. Их произведение $(x-3)(7-x)$ также неотрицательно. Это означает, что обе части равенства определены и равны друг другу для всех $x$ из данного отрезка.
Ответ: $x \in [3; 7]$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt[3]{(x-6)(x-10)} = \sqrt[3]{x-6} \cdot \sqrt[3]{x-10}$.
В данном случае степень корня $n=3$ является нечетным числом.
Свойство корня $\sqrt[2k+1]{a \cdot b} = \sqrt[2k+1]{a} \cdot \sqrt[2k+1]{b}$ является тождеством, справедливым для любых действительных чисел $a$ и $b$.
Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Это значит, что выражения $\sqrt[3]{x-6}$, $\sqrt[3]{x-10}$ и $\sqrt[3]{(x-6)(x-10)}$ определены для всех $x \in \mathbb{R}$.
Поскольку данное равенство является тождеством и все его части определены при любых действительных значениях $x$, оно выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

9.25. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{m^6}$, если $m \geq 0$;

2) $\sqrt[4]{n^4}$, если $n \leq 0$;

3) $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \leq 0$;

4) $\sqrt[6]{c^{24}}$;

5) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если $b \leq 0$;

6) $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \geq 0$;

7) $\sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если $a \leq 0, b \geq 0$;

8) $-1,2x^6\sqrt{64x^{30}}$, если $x \leq 0$.

1) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном выражении степень корня $6$ – четное число, поэтому $\sqrt[6]{m^6} = |m|$. По условию задачи $m \ge 0$, а модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно, $|m| = m$.
Ответ: $m$.

2) Степень корня $4$ – четное число, поэтому применяем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Получаем $\sqrt[4]{n^4} = |n|$. По условию $n \le 0$, а модуль неположительного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком. Таким образом, $|n| = -n$.
Ответ: $-n$.

3) Сначала преобразуем подкоренное выражение. Так как $256 = 2^8$, то $256k^8 = 2^8k^8 = (2k)^8$. Выражение принимает вид $\sqrt[8]{(2k)^8}$. Степень корня $8$ – четное число, поэтому $\sqrt[8]{(2k)^8} = |2k|$. Модуль произведения равен произведению модулей: $|2k| = |2| \cdot |k| = 2|k|$. По условию $k \le 0$, значит $|k| = -k$. Окончательно получаем $2(-k) = -2k$.
Ответ: $-2k$.

4) Представим подкоренное выражение $c^{24}$ в виде степени с показателем $6$: $c^{24} = (c^4)^6$. Тогда исходное выражение равно $\sqrt[6]{(c^4)^6}$. Так как степень корня $6$ – четная, то $\sqrt[6]{(c^4)^6} = |c^4|$. Поскольку показатель степени $4$ – четный, выражение $c^4$ всегда неотрицательно ($c^4 \ge 0$) для любого действительного значения $c$. Следовательно, $|c^4| = c^4$.
Ответ: $c^4$.

5) Корень квадратный, его степень $2$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение: $0,25 = (0,5)^2$ и $b^{14} = (b^7)^2$. Таким образом, $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5)^2(b^7)^2} = \sqrt{(0,5b^7)^2}$. Применяя свойство корня четной степени, получаем $|0,5b^7| = 0,5|b^7|$. По условию $b \le 0$. Так как степень $7$ – нечетная, то при $b \le 0$ выполняется и $b^7 \le 0$. Значит, $|b^7| = -b^7$. Окончательно: $0,5(-b^7) = -0,5b^7$.
Ответ: $-0,5b^7$.

6) Степень корня $4$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение, зная что $81=3^4$ и $x^8=(x^2)^4$: $\sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{3^4(x^2)^4y^4} = \sqrt[4]{(3x^2y)^4}$. Упрощаем, используя свойство корня четной степени: $|3x^2y| = |3| \cdot |x^2| \cdot |y| = 3|x^2||y|$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^2|=x^2$. По условию $y \ge 0$, поэтому $|y|=y$. В результате получаем $3x^2y$.
Ответ: $3x^2y$.

7) Корень квадратный, степень $2$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение: $0,01 = (0,1)^2$, $a^6 = (a^3)^2$, $b^{10} = (b^5)^2$. Получаем $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2}$. Это равно $|0,1a^3b^5| = 0,1|a^3||b^5|$. По условию $a \le 0$, а так как степень $3$ нечетная, то $a^3 \le 0$, и $|a^3| = -a^3$. По условию $b \ge 0$, а так как степень $5$ нечетная, то $b^5 \ge 0$, и $|b^5| = b^5$. Подставляя, получаем $0,1(-a^3)b^5 = -0,1a^3b^5$.
Ответ: $-0,1a^3b^5$.

8) Рассмотрим сначала корень $\sqrt[6]{64x^{30}}$. Степень корня $6$ – четная. Преобразуем подкоренное выражение: $64=2^6$ и $x^{30}=(x^5)^6$. Тогда $\sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{2^6(x^5)^6} = \sqrt[6]{(2x^5)^6}$. Упрощаем: $|2x^5| = 2|x^5|$. По условию $x \le 0$, а так как степень $5$ нечетная, то $x^5 \le 0$, и $|x^5| = -x^5$. Значит, корень равен $2(-x^5) = -2x^5$. Теперь подставим это в исходное выражение: $-1,2x \cdot (-2x^5) = (-1,2 \cdot -2) \cdot (x \cdot x^5) = 2,4x^{1+5} = 2,4x^6$.
Ответ: $2,4x^6$.

9.26. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{625a^{24}};$

2) $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$, если $b \geq 0;$

3) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \leq 0;$

4) $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$, если $p \geq 0;$

5) $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$, если $m \leq 0, n \leq 0;$

6) $ab^2\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$, если $b \geq 0, c \leq 0.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a^{24}}$ представим подкоренное выражение в виде четвертой степени. Число 625 это $5^4$. Переменную $a^{24}$ можно представить как $(a^6)^4$. Таким образом, выражение принимает вид: $\sqrt[4]{625a^{24}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (a^6)^4} = \sqrt[4]{(5a^6)^4}$. При извлечении корня четной степени из выражения, возведенного в ту же степень, результатом является модуль этого выражения: $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$. Следовательно, $\sqrt[4]{(5a^6)^4} = |5a^6|$. Так как 5 - положительное число, а $a^6$ всегда неотрицательно (поскольку степень 6 четная), то и все выражение $5a^6$ неотрицательно. Поэтому модуль можно опустить. $|5a^6| = 5a^6$.
Ответ: $5a^6$.

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$ при условии $b \ge 0$. Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени: $0,0001 = (0,1)^4$ и $b^{20} = (b^5)^4$. $\sqrt[4]{0,0001b^{20}} = \sqrt[4]{(0,1)^4 \cdot (b^5)^4} = \sqrt[4]{(0,1b^5)^4}$. Так как степень корня (4) четная, получаем: $|0,1b^5|$. По условию $b \ge 0$, следовательно $b^5 \ge 0$. Произведение $0,1b^5$ также неотрицательно. Поэтому $|0,1b^5| = 0,1b^5$.
Ответ: $0,1b^5$.

3) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$ при условии $x \le 0$. Сначала упростим корень: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2}$. Известно, что $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, $\sqrt{4x^2} = 2|x|$. Подставим это в исходное выражение: $-5 \cdot (2|x|) = -10|x|$. По условию $x \le 0$. По определению модуля, если $x$ — неположительное число, то $|x| = -x$. Заменим $|x|$ на $-x$ в нашем выражении: $-10(-x) = 10x$.
Ответ: $10x$.

4) Упростим выражение $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$ при условии $p \ge 0$. Представим степени под корнем как степени с показателем 10: $p^{30} = (p^3)^{10}$ и $q^{40} = (q^4)^{10}$. $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}(q^4)^{10}} = \sqrt[10]{(p^3q^4)^{10}}$. Так как степень корня (10) четная, результатом будет модуль выражения: $|p^3q^4| = |p^3| \cdot |q^4|$. Рассмотрим каждый модуль: - По условию $p \ge 0$, значит $p^3 \ge 0$, и $|p^3| = p^3$. - Выражение $q^4$ всегда неотрицательно, так как имеет четный показатель (4). Следовательно, $|q^4| = q^4$. Объединяя результаты, получаем $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.
Ответ: $p^3q^4$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$ при условии $m \le 0$ и $n \le 0$. Представим степени под корнем как степени с показателем 12: $m^{36} = (m^3)^{12}$ и $n^{60} = (n^5)^{12}$. $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{(m^3)^{12}(n^5)^{12}} = \sqrt[12]{(m^3n^5)^{12}}$. Так как степень корня (12) четная, получаем модуль: $|m^3n^5| = |m^3| \cdot |n^5|$. Раскроем модули с учетом условий: - По условию $m \le 0$, а степень 3 нечетная, поэтому $m^3 \le 0$. Следовательно, $|m^3| = -m^3$. - По условию $n \le 0$, а степень 5 нечетная, поэтому $n^5 \le 0$. Следовательно, $|n^5| = -n^5$. Перемножаем полученные выражения: $(-m^3) \cdot (-n^5) = m^3n^5$.
Ответ: $m^3n^5$.

6) Упростим выражение $ab^2\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$ при условии $b \ge 0$ и $c \le 0$. Сначала упростим корень $\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$. Используем свойство $\sqrt[n]{x^k} = |x^{k/n}|$ для четного $n$: $\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}} = \sqrt[4]{a^{48}} \cdot \sqrt[4]{b^{36}} \cdot \sqrt[4]{c^{44}} = |a^{48/4}| \cdot |b^{36/4}| \cdot |c^{44/4}| = |a^{12}| \cdot |b^9| \cdot |c^{11}|$. Теперь раскроем модули с учетом условий: - $|a^{12}|$: степень 12 четная, поэтому $a^{12} \ge 0$. Значит, $|a^{12}| = a^{12}$. - $|b^9|$: по условию $b \ge 0$, поэтому $b^9 \ge 0$. Значит, $|b^9| = b^9$. - $|c^{11}|$: по условию $c \le 0$, а степень 11 нечетная, поэтому $c^{11} \le 0$. Значит, $|c^{11}| = -c^{11}$. Результат извлечения корня: $a^{12} \cdot b^9 \cdot (-c^{11}) = -a^{12}b^9c^{11}$. Теперь умножим это на множитель перед корнем $ab^2$: $ab^2 \cdot (-a^{12}b^9c^{11}) = - (a^1 \cdot a^{12}) \cdot (b^2 \cdot b^9) \cdot c^{11} = -a^{1+12}b^{2+9}c^{11} = -a^{13}b^{11}c^{11}$.
Ответ: $-a^{13}b^{11}c^{11}$.