Страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.52. Найдите значение выражения:

1) $2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22};$

2) $3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3};$

3) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}};$

4) $9^{-4} \cdot 27^{2};$

5) $\left(2\frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^{5};$

6) $\frac{22^{6} \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^{9}}.$

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении вычитаются.
$2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22} = 2^{-9 + (-12)} : 2^{-22} = 2^{-21} : 2^{-22} = 2^{-21 - (-22)} = 2^{-21 + 22} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

2) Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$3^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{-3} = (3 \cdot \frac{2}{3})^{-3} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

3) Используем свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{14^{-5}}{7^{-5}} = (\frac{14}{7})^{-5} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

4) Приведем основания степеней к общему основанию 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
$9^{-4} \cdot 27^2 = (3^2)^{-4} \cdot (3^3)^2 = 3^{2 \cdot (-4)} \cdot 3^{3 \cdot 2} = 3^{-8} \cdot 3^6 = 3^{-8+6} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

5) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и применим свойства степеней.
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.
$(2\frac{7}{9})^{-7} \cdot ((\frac{3}{5})^{-3})^5 = (\frac{25}{9})^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-3 \cdot 5} = (\frac{25}{9})^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$.
Приведем к общему основанию $\frac{5}{3}$: $\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2$ и $\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$.
$((\frac{5}{3})^2)^{-7} \cdot ((\frac{5}{3})^{-1})^{-15} = (\frac{5}{3})^{2 \cdot (-7)} \cdot (\frac{5}{3})^{(-1) \cdot (-15)} = (\frac{5}{3})^{-14} \cdot (\frac{5}{3})^{15} = (\frac{5}{3})^{-14+15} = (\frac{5}{3})^1 = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

6) Разложим основания 22 и 44 на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$, $44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$.
$\frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9} = \frac{(2 \cdot 11)^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2 \cdot 11)^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{6-8} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^{-3+9}} = \frac{2^{-2} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^6} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 11^{6-6} = 2^{-2+6} \cdot 11^0 = 2^4 \cdot 1 = 16$.
Ответ: 16

9.53. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}};

2) $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26};

3) $\sqrt{33}$ и $6;

4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42};

5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7};

6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

1) Сравнить $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$.

Для сравнения двух квадратных корней из положительных чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

Так как $5 > 3$, то $\frac{5}{15} > \frac{3}{15}$, следовательно, $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа больше, чем у второго, то и сам корень будет больше.

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

2) Сравнить $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $32$ и $26$.

Так как $32 > 26$, и функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

Ответ: $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

3) Сравнить $\sqrt{33}$ и $6$.

Чтобы сравнить эти числа, представим $6$ в виде квадратного корня или возведем оба положительных числа в квадрат. Выберем второй способ.

Возведем в квадрат $\sqrt{33}$ и $6$:

$(\sqrt{33})^2 = 33$

$6^2 = 36$

Так как $33 < 36$, то и исходные числа находятся в том же соотношении: $\sqrt{33} < 6$.

Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

4) Сравнить $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$.

Для сравнения внесем множитель $3$ под знак корня в первом числе:

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42}$.

Так как $45 > 42$, то $\sqrt{45} > \sqrt{42}$.

Следовательно, $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

Ответ: $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

5) Сравнить $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$.

Внесем множитель $2$ под знак корня во втором числе:

$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.

Теперь сравним $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$.

Так как $30 > 28$, то $\sqrt{30} > \sqrt{28}$.

Следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

6) Сравнить $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Упростим оба выражения, внеся множители под знаки корней.

Первое число: $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.

Второе число: $\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$.

Так как $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

9.54. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = -x - 1;$

2) $\sqrt{x} = 2 - x;$

3) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}.$

1) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = -x - 1$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 1$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Она расположена в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \geq 0$, а область значений $y \geq 0$. Ключевые точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = -0 - 1 = -1$. Точка (0, -1).
• если $y = 0$, то $0 = -x - 1$, откуда $x = -1$. Точка (-1, 0).

Построим оба графика. График $y = \sqrt{x}$ целиком лежит в области, где $y \geq 0$. В то же время, для области определения функции $y = \sqrt{x}$ (т.е. при $x \geq 0$), значения функции $y = -x - 1$ всегда будут отрицательными ($y \leq -1$). Поскольку множества значений функций не пересекаются, их графики также не пересекаются.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = 2 - 0 = 2$. Точка (0, 2).
• если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка (2, 0).

Построим оба графика. Видно, что графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты (1, 1). Проверим это: для $x=1$ левая часть уравнения равна $\sqrt{1} = 1$, и правая часть равна $2 - 1 = 1$. Равенство верно.

Таким образом, решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $x = 1$.

3) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2). Область определения $x \geq 0$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку область определения $y = \sqrt{x}$ требует, чтобы $x \geq 0$, а для $y = \frac{1}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю, мы ищем решения только при $x > 0$. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы в первой четверти. Ключевые точки для этой ветви: (0.5, 2), (1, 1), (2, 0.5).

Построим оба графика в первой координатной четверти. Видим, что графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — решение уравнения. Из графика видно, что точка пересечения — (1, 1). Проверим: для $x=1$ левая часть уравнения равна $\sqrt{1} = 1$, и правая часть равна $\frac{1}{1} = 1$. Равенство верно.

Следовательно, решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $x = 1$.