Страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.27. Вычислите значение выражения:

1) $ (5\sqrt[3]{4} + 0,5\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{500})\sqrt[3]{2}; $

2) $ (2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{100})(\sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}); $

3) $ \frac{\sqrt[3]{9} - 6\sqrt[3]{72} + 2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}}; $

4) $ \frac{(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2}{4 + 3\sqrt{2}}. $

1) $(5\sqrt[3]{4} + 0,5\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{500})\sqrt[3]{2}$

Для начала упростим кубические корни в скобках. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был кубом целого числа.

$\sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 4} = 5\sqrt[3]{4}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$(5\sqrt[3]{4} + 0,5 \cdot 3\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{4})\sqrt[3]{2} = (5\sqrt[3]{4} + 1,5\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{4})\sqrt[3]{2}$

Сложим и вычтем слагаемые в скобках, так как у них одинаковый радикал:

$(5 + 1,5 - 5)\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = 1,5\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$1,5 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 2} = 1,5 \cdot \sqrt[3]{8}$

Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем:

$1,5 \cdot 2 = 3$

Ответ: 3

2) $(2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{100})(\sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})$

Это выражение можно упростить, если заметить, что оно соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{10}$ и $b = \sqrt[3]{4}$. Тогда вторая скобка в выражении равна $(a+b)$.

Теперь проверим, соответствует ли первая скобка выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

$a^2 = (\sqrt[3]{10})^2 = \sqrt[3]{100}$

$b^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

$ab = \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$

Таким образом, выражение $a^2 - ab + b^2$ равно:

$\sqrt[3]{100} - 2\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{2}$

Переставив слагаемые, мы видим, что это в точности совпадает с первой скобкой исходного выражения: $2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{100}$.

Следовательно, всё выражение равно $a^3 + b^3$:

$(\sqrt[3]{10})^3 + (\sqrt[3]{4})^3 = 10 + 4 = 14$

Ответ: 14

3) $\frac{\sqrt[3]{9} - 6\sqrt[3]{72} + 2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} - \frac{6\sqrt[3]{72}}{\sqrt[3]{9}} + \frac{2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}}$

Теперь упростим каждое слагаемое, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

Первый член: $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = 1$

Второй член: $- \frac{6\sqrt[3]{72}}{\sqrt[3]{9}} = -6\sqrt[3]{\frac{72}{9}} = -6\sqrt[3]{8} = -6 \cdot 2 = -12$

Третий член: $\frac{2\sqrt[3]{1125}}{\sqrt[3]{9}} = 2\sqrt[3]{\frac{1125}{9}} = 2\sqrt[3]{125} = 2 \cdot 5 = 10$

Теперь сложим полученные значения:

$1 - 12 + 10 = -1$

Ответ: -1

4) $\frac{(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2}{4 + 3\sqrt{2}}$

Раскроем квадрат в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2$

Упростим каждый член:

$(\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2}$

$2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = 2 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 8} = 2 \cdot \sqrt[4]{16} = 2 \cdot 2 = 4$

$(\sqrt[4]{8})^2 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Сложим полученные члены, чтобы найти значение числителя:

$\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} = 4 + 3\sqrt{2}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{4 + 3\sqrt{2}}{4 + 3\sqrt{2}}$

Так как числитель и знаменатель равны, дробь равна 1.

Ответ: 1

9.28. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{5\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}}$

2) $\frac{(\sqrt[4]{24} - \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}}$

1) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{5\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}} $, сначала упростим числитель. Для этого вынесем множители из-под знаков кубических корней.
Упростим каждый корень в числителе:
$ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} $
$ \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{2} $
Теперь подставим упрощенные значения обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:
$ 5\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = (5 - 3 + 5)\sqrt[3]{2} = 7\sqrt[3]{2} $
После упрощения числителя все выражение принимает вид:
$ \frac{7\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} $
Сокращаем дробь на $ \sqrt[3]{2} $:
$ \frac{7\cancel{\sqrt[3]{2}}}{\cancel{\sqrt[3]{2}}} = 7 $
Ответ: 7

2) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{(\sqrt[4]{24} - \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}} $, начнем с упрощения числителя.
Возведем выражение в скобках в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ (\sqrt[4]{24} - \sqrt[4]{6})^2 = (\sqrt[4]{24})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{24} \cdot \sqrt[4]{6} + (\sqrt[4]{6})^2 $
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
$ (\sqrt[4]{24})^2 = (24^{1/4})^2 = 24^{2/4} = 24^{1/2} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $
$ (\sqrt[4]{6})^2 = (6^{1/4})^2 = 6^{2/4} = 6^{1/2} = \sqrt{6} $
$ 2 \cdot \sqrt[4]{24} \cdot \sqrt[4]{6} = 2 \cdot \sqrt[4]{24 \cdot 6} = 2 \cdot \sqrt[4]{144} = 2 \cdot \sqrt[4]{12^2} = 2 \cdot 12^{2/4} = 2 \cdot 12^{1/2} = 2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
Теперь соберем все слагаемые числителя вместе:
$ 2\sqrt{6} - 4\sqrt{3} + \sqrt{6} = (2\sqrt{6} + \sqrt{6}) - 4\sqrt{3} = 3\sqrt{6} - 4\sqrt{3} $
Подставим упрощенный числитель в исходную дробь:
$ \frac{3\sqrt{6} - 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}} $
Заметим, что числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Вынесем -1 за скобки в числителе:
$ 3\sqrt{6} - 4\sqrt{3} = -( -3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) = -(4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}) $
Подставим это обратно в дробь и сократим:
$ \frac{-(4\sqrt{3} - 3\sqrt{6})}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}} = -1 $
Ответ: -1

9.29. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}};$

2) $\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3};$

3) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m - \sqrt[4]{m^3}};$

4) $\frac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}};$

5) $\frac{a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}};$

6) $\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64};$

7) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}};$

8) $\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}};$

9) $\frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{a} + \sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}}.$

1)

Рассмотрим числитель дроби $\sqrt{a} - \sqrt{b}$. Его можно представить как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$

2)

Числитель дроби $\sqrt[6]{x} - 9$ является разностью квадратов. Представим $\sqrt[6]{x}$ как $(\sqrt[12]{x})^2$ и $9$ как $3^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\sqrt[6]{x} - 9 = (\sqrt[12]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3} = \frac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[12]{x} + 3)$.
В результате получаем: $\sqrt[12]{x} - 3$.

Ответ: $\sqrt[12]{x} - 3$

3)

Для удобства сделаем замену $x = \sqrt[4]{m}$. Тогда $\sqrt{m} = (\sqrt[4]{m})^2 = x^2$ и $m = x^4$, а $\sqrt[4]{m^3} = x^3$.
Перепишем дробь с новой переменной:
$\frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m - \sqrt[4]{m^3}} = \frac{x^2 + x}{x^4 - x^3}$.
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
В числителе: $x^2 + x = x(x+1)$.
В знаменателе: $x^4 - x^3 = x^3(x-1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{x(x+1)}{x^3(x-1)}$.
Сократим общий множитель $x$:
$\frac{x+1}{x^2(x-1)}$.
Теперь вернемся к исходной переменной $m$, подставив $x = \sqrt[4]{m}$:
$\frac{\sqrt[4]{m}+1}{(\sqrt[4]{m})^2(\sqrt[4]{m}-1)} = \frac{\sqrt[4]{m}+1}{\sqrt{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{m}+1}{\sqrt{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$

4)

В числителе вынесем общий множитель $\sqrt[8]{ab}$:
$\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b} = \sqrt[8]{ab \cdot b} - \sqrt[8]{ab \cdot a} = \sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a}) = -\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$.
Знаменатель $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$ представим как разность квадратов, где $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2$ и $\sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{b})^2$:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$.
Получаем: $\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$

5)

Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} = \frac{a\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} - \frac{b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}$.
Упростим каждую из получившихся дробей:
$\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}} - \frac{b}{\sqrt[3]{b^2}}$.
Представим $a$ как $\sqrt[3]{a^3}$ и $b$ как $\sqrt[3]{b^3}$:
$\frac{\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{a^2}} - \frac{\sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^3}{a^2}} - \sqrt[3]{\frac{b^3}{b^2}} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$.
Другой способ — вынести общий множитель в числителе:
$a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2} = a^{1}b^{2/3} - b^{1}a^{2/3} = a^{3/3}b^{2/3} - b^{3/3}a^{2/3} = a^{2/3}b^{2/3}(a^{1/3} - b^{1/3}) = \sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$.
$\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^2b^2}} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$

6)

Знаменатель дроби $x - 64$ является разностью кубов. Представим $x$ как $(\sqrt[3]{x})^3$ и $64$ как $4^3$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3 = (\sqrt[3]{x} - 4)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4^2) = (\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$

7)

Приведем все корни к общему показателю 6.
$\sqrt{a} = a^{1/2} = a^{3/6} = (\sqrt[6]{a})^3$.
$\sqrt{b} = b^{1/2} = b^{3/6} = (\sqrt[6]{b})^3$.
$\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = a^{2/6} = (\sqrt[6]{a})^2$.
$\sqrt[3]{b} = b^{1/3} = b^{2/6} = (\sqrt[6]{b})^2$.
Сделаем замену: $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$. Дробь примет вид:
$\frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}$.
Числитель — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2}$.
Сокращаем общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$.
Остается $x+y$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$

8)

Разделим дробь на два слагаемых:
$\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - 1$.
Упростим первое слагаемое. Представим $2$ в числителе как $(\sqrt[3]{2})^3$:
$\frac{(\sqrt[3]{2})^3}{\sqrt[3]{2}} - 1 = (\sqrt[3]{2})^{3-1} - 1 = (\sqrt[3]{2})^2 - 1 = \sqrt[3]{2^2} - 1 = \sqrt[3]{4} - 1$.

Ответ: $\sqrt[3]{4} - 1$

9)

Разложим на множители числитель и знаменатель.
В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{a}$:
$a - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)$.
В числителе сгруппируем слагаемые: $(\sqrt[4]{a^3} + \sqrt{a}) - (\sqrt[4]{a} + 1)$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Заметим, что $\sqrt{a} = \sqrt[4]{a^2}$:
$(\sqrt[4]{a^3} + \sqrt[4]{a^2}) - (\sqrt[4]{a} + 1) = \sqrt[4]{a^2}(\sqrt[4]{a} + 1) - 1(\sqrt[4]{a} + 1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt[4]{a} + 1)$:
$(\sqrt[4]{a^2} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt[4]{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a}-1)$.
Получаем: $\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}$

9.30. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1};$

2) $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}};$

3) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}};$

4) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}};$

6) $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}.$

1) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1}$ представим знаменатель $\sqrt[3]{a}-1$ через корень шестой степени. Поскольку $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$, знаменатель можно записать как $(\sqrt[6]{a})^2 - 1$. Применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем $(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)$. Исходная дробь принимает вид: $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)}$. Сократив общий множитель $(\sqrt[6]{a}+1)$, получим конечный результат. Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a}-1}$.

2) В дроби $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}}$ приведем все корни к одному показателю 4. Имеем $\sqrt{m} = \sqrt[4]{m^2}$ и $\sqrt{n} = \sqrt[4]{n^2}$. Дробь примет вид $\frac{\sqrt[4]{m^2}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt[4]{n^2}}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $\sqrt[4]{m}$, получаем $\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$. В знаменателе это $\sqrt[4]{n}$, получаем $\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$. Дробь становится равной $\frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})}$. После сокращения на $(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$ остается $\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}}$. Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Представим числитель $a-b$ как $(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3$. Тогда, согласно формуле, он равен $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2)$. Упростим второй множитель: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$. Дробь принимает вид $\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$. Сокращаем на $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$. Ответ: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$, вынесем в числителе общий множитель. Представим $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Тогда числитель равен $(\sqrt{a})^2\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2\sqrt{a}$. Общий множитель здесь $\sqrt{a}\sqrt{b}$, что равно $\sqrt{ab}$. Выносим его за скобки: $\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Подставляем это в дробь: $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$. Сокращаем на $\sqrt{ab}$. Ответ: $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

5) В дроби $\frac{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b}}$ вынесем общие множители. В числителе $\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b}+1)$. В знаменателе $\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b}+1)$. Дробь принимает вид $\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b}+1)}{\sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b}+1)}$. Сокращаем на $(\sqrt[3]{b}+1)$ и получаем $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}}$. Упростим это выражение: $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}$. Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$.

6) Чтобы упростить выражение $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$, разделим числитель почленно на знаменатель: $\frac{3}{\sqrt[4]{3}} + \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$. Второе слагаемое равно 1. Первое слагаемое $\frac{3}{\sqrt[4]{3}}$ упростим, зная, что $3 = (\sqrt[4]{3})^4$. Тогда $\frac{(\sqrt[4]{3})^4}{\sqrt[4]{3}} = (\sqrt[4]{3})^{4-1} = (\sqrt[4]{3})^3 = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$. Складывая полученные части, имеем $\sqrt[4]{27} + 1$. Ответ: $\sqrt[4]{27} + 1$.

9.31. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{(x+4)^4} = x+4;$

2) $\sqrt[4]{(1-3x)^8} = (1-3x)^2;$

3) $\sqrt[6]{(x^2 - 2x - 3)^6} = 3 + 2x - x^2.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{(x + 4)^4} = x + 4$.
Согласно свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применив это свойство к левой части уравнения, получим:
$|x + 4| = x + 4$.
Уравнение вида $|A| = A$ справедливо только в том случае, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $A \ge 0$.
В нашем случае это означает, что $x + 4 \ge 0$.
Решая это простое неравенство, получаем:
$x \ge -4$.
Таким образом, решением уравнения является любой $x$ из промежутка $[-4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{(1 - 3x)^8} = (1 - 3x)^2$.
Преобразуем подкоренное выражение: $(1 - 3x)^8 = ((1 - 3x)^2)^4$.
Теперь уравнение выглядит так: $\sqrt[4]{((1 - 3x)^2)^4} = (1 - 3x)^2$.
Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем:
$|(1 - 3x)^2| = (1 - 3x)^2$.
Выражение, возведенное в квадрат, $(1 - 3x)^2$, всегда является неотрицательным числом для любого действительного $x$. То есть, $(1 - 3x)^2 \ge 0$.
Следовательно, модуль этого выражения равен самому выражению: $|(1 - 3x)^2| = (1 - 3x)^2$.
Мы получили тождество $(1 - 3x)^2 = (1 - 3x)^2$, которое верно при любом значении $x$.
Область определения исходного уравнения ($ (1-3x)^8 \ge 0 $) также выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt[6]{(x^2 - 2x - 3)^6} = 3 + 2x - x^2$.
Применим свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ к левой части:
$|x^2 - 2x - 3| = 3 + 2x - x^2$.
Обратим внимание на правую часть уравнения. Если вынести минус за скобки, получим: $3 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 3)$.
Обозначим $A = x^2 - 2x - 3$. Тогда уравнение примет вид $|A| = -A$.
Равенство вида $|A| = -A$ справедливо только тогда, когда выражение под модулем неположительно, то есть $A \le 0$.
Таким образом, нам нужно решить неравенство:
$x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Так как парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, ее значения будут неположительными ($y \le 0$) на отрезке между корнями.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $-1 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-1; 3]$.

9.32. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3}$;

2) $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$;

3) $\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3}$;

4) $\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3}$ используется свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ при условии, что $a \ge 0$.

В первую очередь, необходимо определить знак подкоренного выражения в основании степени, то есть $\sqrt{6}-2$.

Мы знаем, что $4 < 6 < 9$. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, что соответствует $2 < \sqrt{6} < 3$.

Из этого следует, что разность $\sqrt{6}-2$ является положительным числом.

Поскольку основание степени положительно, мы можем применить свойство корня и сократить показатель корня (6) и показатель степени (3) на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3} = \sqrt[6/3]{(\sqrt{6}-2)^{3/3}} = \sqrt[2]{(\sqrt{6}-2)^1} = \sqrt{\sqrt{6}-2}$

Ответ: $\sqrt{\sqrt{6}-2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$ необходимо учесть, что показатель корня (4) является четным числом.

Для четных показателей корня справедливо тождество $\sqrt[2k]{a^{2m}} = \sqrt[k]{|a|^m}$. Это гарантирует, что результат преобразования будет неотрицательным, как и исходное выражение $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$ (корень четной степени из неотрицательного числа).

Применяя это свойство, мы сокращаем показатель корня (4) и показатель степени (2) на 2:

$\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2} = \sqrt[4/2]{|1-\sqrt{2}|^{2/2}} = \sqrt[2]{|1-\sqrt{2}|} = \sqrt{|1-\sqrt{2}|}$

Теперь определим знак выражения $1-\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, то $1 < \sqrt{2}$, и, следовательно, $1-\sqrt{2} < 0$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу:

$|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\sqrt{|1-\sqrt{2}|} = \sqrt{\sqrt{2}-1}$

Ответ: $\sqrt{\sqrt{2}-1}$

3) Упростим выражение $\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3}$.

В этом случае показатель корня (9) — нечетное число. Для нечетных корней свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ выполняется для любого действительного числа $a$, при этом знак выражения сохраняется. Раскрытие модуля не требуется.

Сократим показатель корня (9) и показатель степени (3) на их общий делитель 3:

$\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3} = \sqrt[9/3]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{3/3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^1} = \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2}$.

Здесь показатель корня (6) — четное число. Как и в пункте 2, необходимо использовать свойство с модулем, чтобы гарантировать неотрицательность результата: $\sqrt[2k]{a^{2m}} = \sqrt[k]{|a|^m}$.

Сокращаем показатель корня (6) и показатель степени (2) на их общий делитель 2:

$\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2} = \sqrt[6/2]{|\sqrt{3}-2|^{2/2}} = \sqrt[3]{|\sqrt{3}-2|}$

Определим знак выражения в скобках: $\sqrt{3}-2$. Так как $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, то $\sqrt{3} < 2$, и, следовательно, $\sqrt{3}-2 < 0$.

Находим модуль этого выражения:

$|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = 2-\sqrt{3}$

Подставляем результат в упрощенное выражение:

$\sqrt[3]{|\sqrt{3}-2|} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

Ответ: $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

9.33. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{(\sqrt{5} - 2)^4}$;

2) $\sqrt[10]{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2}$;

3) $\sqrt[12]{(\sqrt{11} - 3)^3}$;

4) $\sqrt[15]{(\sqrt{7} - 3)^3}$.

Для решения данных задач используется свойство корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, если множитель $k$ - нечетное число. Если же $k$ - четное число, то свойство принимает вид $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a^m|}$, так как корень четной степени извлекается из неотрицательного числа.

1) Упростим выражение $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$.

Здесь показатель корня $n=8$ и показатель степени подкоренного выражения $m=4$. Мы можем сократить их на общий делитель $k=4$. Так как $k=4$ - четное число, мы должны использовать модуль.

$\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4} = \sqrt[2 \cdot 4]{(\sqrt{5}-2)^{1 \cdot 4}} = \sqrt[2]{|\sqrt{5}-2|^1} = \sqrt{|\sqrt{5}-2|}$.

Теперь определим знак выражения в модуле. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}=2$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-2$ положительна.

Так как $\sqrt{5}-2 > 0$, то $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.

В результате получаем: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.

Ответ: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$.

Здесь показатель корня $n=10$ и показатель степени $m=2$. Общий делитель $k=2$. Так как $k=2$ - четное число, применяем свойство с модулем.

$\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2} = \sqrt[5 \cdot 2]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{1 \cdot 2}} = \sqrt[5]{|\sqrt{3}-\sqrt{5}|}$.

Определим знак выражения в модуле. Сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Следовательно, разность $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ отрицательна.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.

Подставляя это в наше выражение, получаем: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$.

Здесь показатель корня $n=12$ и показатель степени $m=3$. Общий делитель $k=3$. Так как $k=3$ - нечетное число, модуль использовать не нужно.

$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(\sqrt{11}-3)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.

Для корректности проверим знак подкоренного выражения. Сравним $\sqrt{11}$ и $3$. Поскольку $11 > 9$, то $\sqrt{11} > \sqrt{9}=3$. Значит, разность $\sqrt{11}-3$ положительна, и корень четвертой степени из нее определен.

Ответ: $\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$.

Здесь показатель корня $n=15$ и показатель степени $m=3$. Общий делитель $k=3$. Так как $k=3$ - нечетное число, упрощение проводится без использования модуля.

$\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3} = \sqrt[5 \cdot 3]{(\sqrt{7}-3)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.

Определим знак подкоренного выражения. Сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}=3$. Следовательно, разность $\sqrt{7}-3$ отрицательна.

Так как мы извлекаем корень нечетной степени (пятой) из отрицательного числа, выражение определено и имеет смысл.

Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.