Страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.6. Представьте выражение в виде одночлена, если $m \ge 0$ и $n \ge 0$:

1) $\sqrt[3]{125n^{15}},$

2) $\sqrt[6]{0.000064m^{30}n^{42}};$

3) $\sqrt[8]{m^{72}n^{24}}.$

1) Для того чтобы представить выражение $\sqrt[3]{125n^{15}}$ в виде одночлена, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[k]{ab} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b}$.

$\sqrt[3]{125n^{15}} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{n^{15}}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя по отдельности.

Кубический корень из 125: $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.

Для извлечения корня из степени воспользуемся свойством $\sqrt[k]{a^p} = a^{\frac{p}{k}}$. Так как по условию $n \geq 0$ (хотя для корня нечетной степени это не меняет результат), получаем:

$\sqrt[3]{n^{15}} = n^{\frac{15}{3}} = n^5$.

Перемножим полученные результаты:

$5 \cdot n^5 = 5n^5$.

Ответ: $5n^5$.

2) Представим выражение $\sqrt[6]{0,000064m^{30}n^{42}}$ в виде одночлена. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt[k]{abc} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b} \cdot \sqrt[k]{c}$.

$\sqrt[6]{0,000064m^{30}n^{42}} = \sqrt[6]{0,000064} \cdot \sqrt[6]{m^{30}} \cdot \sqrt[6]{n^{42}}$

Извлечем корень из каждого множителя.

Корень шестой степени из 0,000064. Заметим, что $0,2^6 = (2 \cdot 10^{-1})^6 = 2^6 \cdot 10^{-6} = 64 \cdot 10^{-6} = 0,000064$. Следовательно, $\sqrt[6]{0,000064} = 0,2$.

При извлечении корня четной степени из степени используется правило $\sqrt[2k]{a^{2k \cdot p}} = |a^p|$. По условию $m \geq 0$ и $n \geq 0$, поэтому модуль можно опустить.

$\sqrt[6]{m^{30}} = \sqrt[6]{(m^5)^6} = |m^5| = m^5$ (так как $m \geq 0$, то $m^5 \geq 0$).

$\sqrt[6]{n^{42}} = \sqrt[6]{(n^7)^6} = |n^7| = n^7$ (так как $n \geq 0$, то $n^7 \geq 0$).

Объединим результаты:

$0,2 \cdot m^5 \cdot n^7 = 0,2m^5n^7$.

Ответ: $0,2m^5n^7$.

3) Представим выражение $\sqrt[8]{m^{72}n^{24}}$ в виде одночлена. Используем свойство корня из произведения.

$\sqrt[8]{m^{72}n^{24}} = \sqrt[8]{m^{72}} \cdot \sqrt[8]{n^{24}}$

Воспользуемся свойством $\sqrt[k]{a^p} = a^{\frac{p}{k}}$. Так как корень имеет четный показатель (8), при извлечении корня необходимо учесть знак. Общее правило: $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.

$\sqrt[8]{m^{72}} = \sqrt[8]{(m^9)^8} = |m^9|$. Поскольку по условию $m \geq 0$, то $m^9 \geq 0$, и модуль можно опустить: $|m^9| = m^9$.

$\sqrt[8]{n^{24}} = \sqrt[8]{(n^3)^8} = |n^3|$. Поскольку по условию $n \geq 0$, то $n^3 \geq 0$, и модуль можно опустить: $|n^3| = n^3$.

Перемножим полученные одночлены:

$m^9 \cdot n^3 = m^9n^3$.

Ответ: $m^9n^3$.

9.7. Упростите выражение:

1) $\sqrt[5]{\sqrt{a}}$;2) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$;3) $\sqrt[15]{c^6}$;4) $\sqrt[18]{a^8 b^{24}}$;5) $\sqrt[12]{81}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[5]{a}}$ используется свойство корня из корня, которое гласит: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. В данном выражении внешний корень является квадратным, что означает, что его показатель $m=2$. Показатель внутреннего корня $n=5$.

Чтобы найти показатель результирующего корня, нужно перемножить показатели исходных корней: $2 \cdot 5 = 10$.

Таким образом, выражение упрощается следующим образом:

$\sqrt{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[2 \cdot 5]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Ответ: $\sqrt[10]{a}$.

2) Выражение $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$ упрощается аналогично предыдущему примеру, с использованием свойства $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$.

Здесь показатель внешнего корня $m=4$, а внутреннего — $n=3$.

Перемножаем показатели корней: $4 \cdot 3 = 12$.

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[4 \cdot 3]{x} = \sqrt[12]{x}$.

Ответ: $\sqrt[12]{x}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[15]{c^6}$ применяется основное свойство корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Это свойство позволяет разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.

В данном случае показатель корня равен 15, а показатель степени подкоренного выражения равен 6. Найдём их наибольший общий делитель (НОД). НОД(15, 6) = 3.

Разделим показатель корня и показатель степени на 3:

$\sqrt[15]{c^6} = \sqrt[15 \div 3]{c^{6 \div 3}} = \sqrt[5]{c^2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{c^2}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[18]{a^8 b^{24}}$. Предполагается, что переменные $a$ и $b$ являются неотрицательными ($a \ge 0, b \ge 0$).

Сначала мы можем упростить корень, разделив его показатель (18) и показатели степеней подкоренного выражения (8 и 24) на их наибольший общий делитель. НОД(18, 8, 24) = 2.

$\sqrt[18]{a^8 b^{24}} = \sqrt[18 \div 2]{a^{8 \div 2} b^{24 \div 2}} = \sqrt[9]{a^4 b^{12}}$.

Далее, можно вынести множители из-под знака корня. Так как показатель степени у множителя $b^{12}$ больше показателя корня 9, мы можем представить $b^{12}$ как $b^9 \cdot b^3$.

$\sqrt[9]{a^4 b^{12}} = \sqrt[9]{a^4 \cdot b^9 \cdot b^3} = \sqrt[9]{b^9} \cdot \sqrt[9]{a^4 b^3}$.

Так как $\sqrt[9]{b^9} = b$, получаем окончательное упрощённое выражение:

$b \sqrt[9]{a^4 b^3}$.

Ответ: $b \sqrt[9]{a^4 b^3}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{81}$.

Первым шагом представим число 81 в виде степени. Известно, что $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Подставим это значение в наше выражение:

$\sqrt[12]{81} = \sqrt[12]{3^4}$.

Теперь используем основное свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Показатель корня равен 12, а показатель степени — 4. Наибольший общий делитель этих чисел НОД(12, 4) = 4.

Разделим показатель корня и показатель степени на 4:

$\sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12 \div 4]{3^{4 \div 4}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$.

9.8. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt{x}}$;

2) $\sqrt{\sqrt{y}}$;

3) $\sqrt[12]{a^3}$;

4) $\sqrt[21]{a^{14}b^7}$;

5) $\sqrt[9]{64}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{\sqrt{x}}$ воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
В данном случае, показатель внешнего корня $m=6$, а показатель внутреннего (квадратного) корня $n=2$.
Перемножаем показатели корней: $\sqrt[6]{\sqrt{x}} = \sqrt[6 \cdot 2]{x} = \sqrt[12]{x}$.
Ответ: $\sqrt[12]{x}$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{y}}$ также используем свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Здесь показатель внешнего (квадратного) корня $m=2$, а показатель внутреннего (кубического) корня $n=3$.
Перемножаем показатели корней: $\sqrt{\sqrt[3]{y}} = \sqrt[2 \cdot 3]{y} = \sqrt[6]{y}$.
Ответ: $\sqrt[6]{y}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[12]{a^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.
Показатель корня равен 12, а показатель степени подкоренного выражения равен 3. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 3.
Сократим показатель корня и показатель степени на 3: $\sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12 \div 3]{a^{3 \div 3}} = \sqrt[4]{a^1} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

4) В выражении $\sqrt[21]{a^{14}b^7}$ можно упростить показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения.
Сначала представим подкоренное выражение как степень с одним показателем: $a^{14}b^7 = (a^2)^7 b^7 = (a^2b)^7$.
Тогда выражение примет вид: $\sqrt[21]{(a^2b)^7}$.
Теперь сократим показатель корня (21) и показатель степени подкоренного выражения (7) на их НОД, который равен 7:
$\sqrt[21]{(a^2b)^7} = \sqrt[21 \div 7]{(a^2b)^{7 \div 7}} = \sqrt[3]{(a^2b)^1} = \sqrt[3]{a^2b}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2b}$.

5) Чтобы упростить $\sqrt[9]{64}$, представим число 64 в виде степени.
$64 = 8^2 = (2^3)^2 = 2^6$.
Подставим это в исходное выражение: $\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^6}$.
Сократим показатель корня (9) и показатель степени подкоренного выражения (6) на их НОД, который равен 3:
$\sqrt[9]{2^6} = \sqrt[9 \div 3]{2^{6 \div 3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

9.9. Представьте выражение $\sqrt{a}$ в виде корня:

1) четвёртой степени;

2) шестой степени;

3) четырнадцатой степени;

4) восемнадцатой степени.

Чтобы представить выражение с корнем в виде корня другой степени, используется основное свойство корня. Оно гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. В виде формулы это выглядит так:

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}$

Исходное выражение — это $\sqrt{a}$. Квадратный корень — это корень второй степени, а $a$ можно представить как $a$ в первой степени. Таким образом, имеем:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1}$

Применим это свойство для каждого из подпунктов.

1) четвёртой степени;

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня четвёртой степени, то есть $\sqrt[4]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 4, нужно умножить его на 2. Следовательно, $k=2$. Согласно основному свойству корня, показатель степени подкоренного выражения также нужно умножить на 2.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$.

2) шестой степени;

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня шестой степени, то есть $\sqrt[6]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 6, нужно умножить его на 3. Следовательно, $k=3$. Показатель степени подкоренного выражения также умножаем на 3.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$.

3) четырнадцатой степени;

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня четырнадцатой степени, то есть $\sqrt[14]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 14, нужно умножить его на 7. Следовательно, $k=7$. Показатель степени подкоренного выражения также умножаем на 7.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 7]{a^{1 \cdot 7}} = \sqrt[14]{a^7}$

Ответ: $\sqrt[14]{a^7}$.

4) восемнадцатой степени.

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня восемнадцатой степени, то есть $\sqrt[18]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 18, нужно умножить его на 9. Следовательно, $k=9$. Показатель степени подкоренного выражения также умножаем на 9.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 9]{a^{1 \cdot 9}} = \sqrt[18]{a^9}$

Ответ: $\sqrt[18]{a^9}$.

9.10. Представьте выражение $\sqrt[3]{b}, b \geq 0$, в виде корня:

1) шестой степени;

2) девятой степени;

3) пятнадцатой степени;

4) тридцатой степени.

Для того чтобы представить выражение $\sqrt[3]{b}$ в виде корня другой степени, мы воспользуемся основным свойством корня. Это свойство гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n$ и $k$ справедливо равенство: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$.

Это означает, что мы можем умножить показатель корня и степень подкоренного выражения на одно и то же натуральное число, и значение корня при этом не изменится. В нашем случае подкоренное выражение $b$ можно представить как $b^1$.

1) шестой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня шестой степени. Исходный показатель корня $n=3$, а желаемый — $n \cdot k = 6$. Найдем, на какое число $k$ нужно умножить исходный показатель:

$3 \cdot k = 6$

$k = 6 / 3 = 2$

Теперь, согласно свойству, мы должны умножить показатель корня на 2 и возвести подкоренное выражение $b$ в степень 2:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[6]{b^2}$

2) девятой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня девятой степени. Исходный показатель $n=3$, желаемый — $n \cdot k = 9$. Найдем число $k$:

$3 \cdot k = 9$

$k = 9 / 3 = 3$

Умножим показатель корня на 3 и возведем подкоренное выражение $b$ в степень 3:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 3]{b^{1 \cdot 3}} = \sqrt[9]{b^3}$

Ответ: $\sqrt[9]{b^3}$

3) пятнадцатой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня пятнадцатой степени. Исходный показатель $n=3$, желаемый — $n \cdot k = 15$. Найдем число $k$:

$3 \cdot k = 15$

$k = 15 / 3 = 5$

Умножим показатель корня на 5 и возведем подкоренное выражение $b$ в степень 5:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 5]{b^{1 \cdot 5}} = \sqrt[15]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[15]{b^5}$

4) тридцатой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня тридцатой степени. Исходный показатель $n=3$, желаемый — $n \cdot k = 30$. Найдем число $k$:

$3 \cdot k = 30$

$k = 30 / 3 = 10$

Умножим показатель корня на 10 и возведем подкоренное выражение $b$ в степень 10:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 10]{b^{1 \cdot 10}} = \sqrt[30]{b^{10}}$

Ответ: $\sqrt[30]{b^{10}}$

9.11. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{16}$;

2) $\sqrt[4]{162}$;

3) $\sqrt[3]{250}$;

4) $\sqrt[6]{7290}$;

5) $\sqrt[3]{40a^5}$;

6) $\sqrt[3]{-a^7}$;

7) $\sqrt[3]{-54a^5b^9}$;

8) $\sqrt[3]{-108a^7b^{10}}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным кубом. Число 16 можно разложить на множители как $8 \cdot 2$. Поскольку $8 = 2^3$, мы можем вынести его из-под кубического корня.
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{2}$.

2) Для вынесения множителя из-под знака корня четвертой степени, разложим подкоренное число 162 на множители. $162 = 81 \cdot 2$. Число 81 является четвертой степенью числа 3 ($3^4 = 81$).
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

3) Разложим число 250 на множители, выделив наибольший возможный куб. $250 = 125 \cdot 2$. Число 125 является кубом числа 5 ($5^3=125$).
$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

4) Необходимо найти корень шестой степени из 729. Разложим 729 на простые множители, чтобы проверить, не является ли оно полной шестой степенью. $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: $3$.

5) Разложим на множители числовой коэффициент и переменную степень. $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. Степень переменной $a^5$ представим как $a^3 \cdot a^2$.
$\sqrt[3]{40a^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{(8a^3) \cdot (5a^2)} = \sqrt[3]{(2a)^3 \cdot 5a^2} = 2a\sqrt[3]{5a^2}$.
Ответ: $2a\sqrt[3]{5a^2}$.

6) Минус можно вынести из-под знака корня нечетной степени. Степень переменной $a^7$ представим в виде произведения $a^6 \cdot a$, где $a^6$ является полным кубом, так как $a^6 = (a^2)^3$.
$\sqrt[3]{-a^7} = -\sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^6 \cdot a} = -\sqrt[3]{(a^2)^3 \cdot a} = -a^2\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $-a^2\sqrt[3]{a}$.

7) Выносим знак минус. Раскладываем число -54 как $-27 \cdot 2$, где -27 является кубом числа -3. Раскладываем степени переменных: $a^5 = a^3 \cdot a^2$ и $b^9 = (b^3)^3$.
$\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{-27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot b^9} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{(-3ab^3)^3 \cdot 2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.
Ответ: $-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.

8) Выносим знак минус. Раскладываем число -108 как $-27 \cdot 4$. Раскладываем степени переменных: $a^7 = a^6 \cdot a = (a^2)^3 \cdot a$ и $b^{10} = b^9 \cdot b = (b^3)^3 \cdot b$.
$\sqrt[3]{-108a^7b^{10}} = \sqrt[3]{-27 \cdot 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^9 \cdot b} = \sqrt[3]{((-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3) \cdot 4ab} = \sqrt[3]{(-3a^2b^3)^3 \cdot 4ab} = -3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}$.
Ответ: $-3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}$.

9.12. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{80};$

2) $\sqrt[3]{432};$

3) $\sqrt[3]{54y^8};$

4) $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}.$

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{80}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.
Разложим число 80 на простые множители: $80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
Теперь вынесем множитель $2^4$ из-под корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$

2) В выражении $\sqrt[3]{432}$ разложим число 432 на множители, чтобы найти среди них точный куб.
$432 = 216 \cdot 2$. Число 216 является кубом числа 6, так как $6^3 = 216$.
Следовательно, выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{216 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $6\sqrt[3]{2}$

3) Для выражения $\sqrt[3]{54y^8}$ разложим на множители коэффициент и переменную часть, ища точные кубы.
Коэффициент: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.
Переменная: $y^8 = y^{6+2} = y^6 \cdot y^2 = (y^2)^3 \cdot y^2$.
Подставляем в исходное выражение и выносим множители:
$\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{(3^3 \cdot 2) \cdot ((y^2)^3 \cdot y^2)} = \sqrt[3]{(3^3 \cdot (y^2)^3) \cdot (2y^2)} = \sqrt[3]{(3y^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}$.
Ответ: $3y^2\sqrt[3]{2y^2}$

4) В выражении $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$ разложим на множители каждый компонент подкоренного выражения, выделяя четвертые степени.
$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$b^9 = b^8 \cdot b = (b^2)^4 \cdot b$.
$c^{18} = c^{16} \cdot c^2 = (c^4)^4 \cdot c^2$.
Заметим, что корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. То есть $243b^9c^{18} \ge 0$. Поскольку $243 > 0$ и $c^{18} \ge 0$, требуется $b^9 \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Группируем множители и выносим из-под знака корня:
$\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4) \cdot (3bc^2)} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(b^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(c^4)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$.
Так как $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем: $3 \cdot |b^2| \cdot |c^4| \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$.
Поскольку $b^2$ и $c^4$ всегда неотрицательны, их модули равны самим выражениям: $|b^2| = b^2$ и $|c^4| = c^4$.
Итоговый результат: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$.
Ответ: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$

9.13. Внесите множитель под знак корня:

1) $2\sqrt{3};$3) $-10\sqrt[4]{0,271};$5) $5\sqrt[3]{0,04x};$7) $b\sqrt[5]{3b^3};$

2) $4\sqrt[3]{5};$4) $\frac{2}{3}\sqrt[3]{54};$6) $2\sqrt[5]{6y};$8) $c\sqrt[3]{\frac{5}{c^2}}.$

1)

Чтобы внести множитель 2 под знак квадратного корня, нужно возвести его в степень корня (в данном случае в квадрат) и умножить на подкоренное выражение.

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Ответ: $\sqrt{12}$.

2)

Чтобы внести множитель 4 под знак кубического корня, нужно возвести его в третью степень.

$4\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{320}$.

Ответ: $\sqrt[3]{320}$.

3)

При внесении отрицательного множителя под корень четной степени (в данном случае 4-й), знак минус остается перед корнем, а под корень вносится положительное число.

$-10\sqrt[4]{0,271} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0,271} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0,271} = -\sqrt[4]{2710}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{2710}$.

4)

Чтобы внести дробный множитель $\frac{2}{3}$ под знак кубического корня, возводим его в третью степень и умножаем на подкоренное выражение.

$\frac{2}{3}\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{(\frac{2}{3})^3 \cdot 54} = \sqrt[3]{\frac{2^3}{3^3} \cdot 54} = \sqrt[3]{\frac{8}{27} \cdot 54} = \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 54}{27}} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{16}$.

Ответ: $\sqrt[3]{16}$.

5)

Вносим множитель 5 под знак кубического корня, возведя его в третью степень.

$5\sqrt[3]{0,04x} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 0,04x} = \sqrt[3]{125 \cdot 0,04x} = \sqrt[3]{5x}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5x}$.

6)

Вносим множитель 2 под знак корня пятой степени, возведя его в пятую степень.

$2\sqrt[5]{6y} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 6y} = \sqrt[5]{32 \cdot 6y} = \sqrt[5]{192y}$.

Ответ: $\sqrt[5]{192y}$.

7)

Вносим множитель b под знак корня пятой степени, возведя его в пятую степень. Так как степень корня нечетная, знак множителя b не имеет значения при внесении под корень.

$b\sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{b^5 \cdot 3b^3} = \sqrt[5]{3b^{5+3}} = \sqrt[5]{3b^8}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3b^8}$.

8)

Вносим множитель c под знак кубического корня, возведя его в третью степень. Исходное выражение имеет смысл при $c \neq 0$.

$c\sqrt[3]{\frac{5}{c^2}} = \sqrt[3]{c^3 \cdot \frac{5}{c^2}} = \sqrt[3]{\frac{5c^3}{c^2}} = \sqrt[3]{5c}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5c}$.

9.14. Внесите множитель под знак корня:

1) $\frac{1}{4} \sqrt[3]{320};$

2) $2\sqrt[4]{7};$

3) $5\sqrt[4]{4a};$

4) $2x^3\sqrt[5]{\frac{x^3}{8}}.$

1) Чтобы внести множитель $ \frac{1}{4} $ под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень и умножить на подкоренное выражение. Общее правило: $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}$.

Применим это правило:

$ \frac{1}{4}\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^3 \cdot 320} $

Сначала вычислим значение множителя в кубе:

$ (\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64} $

Теперь подставим это значение обратно в выражение под корнем и выполним умножение:

$ \sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} $

Сократим дробь под корнем:

$ \frac{320}{64} = 5 $

В результате получаем:

$ \sqrt[3]{5} $

Ответ: $ \sqrt[3]{5} $

2) Чтобы внести множитель $2$ под знак корня четвертой степени, нужно возвести его в четвертую степень и умножить на подкоренное число.

$ 2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7} $

Вычислим степень множителя:

$ 2^4 = 16 $

Теперь умножим результат на число под корнем:

$ \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112} $

Ответ: $ \sqrt[4]{112} $

3) Чтобы внести множитель $5$ под знак корня четвертой степени, возведем его в четвертую степень. Это преобразование является верным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно ($4a \ge 0$, то есть $a \ge 0$).

$ 5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a} $

Вычислим степень множителя:

$ 5^4 = 625 $

Теперь умножим результат на выражение под корнем:

$ \sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a} $

Ответ: $ \sqrt[4]{2500a} $

4) Чтобы внести множитель $2x^3$ под знак корня пятой степени, необходимо возвести весь множитель в пятую степень. Так как степень корня ($5$) нечетная, знак множителя сохраняется, и на переменную $x$ не накладывается никаких ограничений.

$ 2x^3\sqrt[5]{\frac{x^3}{8}} = \sqrt[5]{(2x^3)^5 \cdot \frac{x^3}{8}} $

Возведем множитель в степень:

$ (2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{15} $

Теперь перемножим выражения под знаком корня:

$ \sqrt[5]{32x^{15} \cdot \frac{x^3}{8}} = \sqrt[5]{\frac{32}{8} \cdot x^{15} \cdot x^3} $

Упростим выражение под корнем, используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$ \sqrt[5]{4 \cdot x^{15+3}} = \sqrt[5]{4x^{18}} $

Ответ: $ \sqrt[5]{4x^{18}} $

9.15. Замените выражение на тождественно равное ему:

1) $\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40};$

2) $\sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} - \sqrt[3]{-81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}.$

1) $\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множитель из-под знака кубического корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные числа на множители так, чтобы один из множителей являлся точным кубом.

Разложим каждое подкоренное выражение:

• $\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \cdot 5} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$5\sqrt[3]{5} - 4\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5}$

Все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt[3]{5}$. Сгруппируем их и выполним действия с коэффициентами:

$(5 - 4 - 3 + 2)\sqrt[3]{5} = (1 - 3 + 2)\sqrt[3]{5} = (-2 + 2)\sqrt[3]{5} = 0 \cdot \sqrt[3]{5} = 0$

Ответ: $0$

2) $\sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} - \sqrt[3]{-81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}$

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака кубического корня. Также воспользуемся свойством нечетного корня $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

Преобразуем каждое слагаемое:

• $\sqrt[3]{56m} = \sqrt[3]{8 \cdot 7m} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7m} = 2\sqrt[3]{7m}$
• $\sqrt[3]{-189m} = \sqrt[3]{-27 \cdot 7m} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 7m} = -3\sqrt[3]{7m}$
• $-\sqrt[3]{-81n} = -(\sqrt[3]{-27 \cdot 3n}) = -(\sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 3n}) = -(-3\sqrt[3]{3n}) = 3\sqrt[3]{3n}$
• $-1,5\sqrt[3]{24n} = -1,5\sqrt[3]{8 \cdot 3n} = -1,5\sqrt[3]{2^3 \cdot 3n} = -1,5 \cdot 2\sqrt[3]{3n} = -3\sqrt[3]{3n}$
• $\sqrt[3]{448m} = \sqrt[3]{64 \cdot 7m} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 7m} = 4\sqrt[3]{7m}$

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$2\sqrt[3]{7m} - 3\sqrt[3]{7m} + 3\sqrt[3]{3n} - 3\sqrt[3]{3n} + 4\sqrt[3]{7m}$

Сгруппируем подобные слагаемые (с одинаковыми подкоренными выражениями) и приведем их:

$(2\sqrt[3]{7m} - 3\sqrt[3]{7m} + 4\sqrt[3]{7m}) + (3\sqrt[3]{3n} - 3\sqrt[3]{3n})$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

$(2 - 3 + 4)\sqrt[3]{7m} + (3 - 3)\sqrt[3]{3n} = 3\sqrt[3]{7m} + 0 \cdot \sqrt[3]{3n} = 3\sqrt[3]{7m}$

Ответ: $3\sqrt[3]{7m}$

9.16. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{54} - 3\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{2000};$

2) $\sqrt[4]{625a} + 3\sqrt[4]{16a} - 2\sqrt[4]{81a} + 4\sqrt[4]{1296a}.$

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{54} - 3\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{2000}$, необходимо вынести множители из-под знака кубического корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители таким образом, чтобы один из них был точным кубом.

Разложим каждое слагаемое:

• $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$
• $3\sqrt[3]{16} = 3\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$
• $5\sqrt[3]{128} = 5\sqrt[3]{64 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{4^3 \cdot 2} = 5 \cdot 4\sqrt[3]{2} = 20\sqrt[3]{2}$
• $\sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 2} = \sqrt[3]{10^3 \cdot 2} = 10\sqrt[3]{2}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$3\sqrt[3]{2} - 6\sqrt[3]{2} + 20\sqrt[3]{2} + 10\sqrt[3]{2}$

Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt[3]{2}$. Сложим их коэффициенты:

$(3 - 6 + 20 + 10)\sqrt[3]{2} = (-3 + 20 + 10)\sqrt[3]{2} = (17 + 10)\sqrt[3]{2} = 27\sqrt[3]{2}$

Ответ: $27\sqrt[3]{2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a} + 3\sqrt[4]{16a} - 2\sqrt[4]{81a} + 4\sqrt[4]{1296a}$ вынесем множители из-под знака корня четвертой степени. Отметим, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

Разложим каждое слагаемое, выделяя множители, являющиеся точной четвертой степенью:

• $\sqrt[4]{625a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot a} = 5\sqrt[4]{a}$
• $3\sqrt[4]{16a} = 3\sqrt[4]{2^4 \cdot a} = 3 \cdot 2\sqrt[4]{a} = 6\sqrt[4]{a}$
• $2\sqrt[4]{81a} = 2\sqrt[4]{3^4 \cdot a} = 2 \cdot 3\sqrt[4]{a} = 6\sqrt[4]{a}$
• $4\sqrt[4]{1296a} = 4\sqrt[4]{6^4 \cdot a} = 4 \cdot 6\sqrt[4]{a} = 24\sqrt[4]{a}$ (поскольку $6^4 = 1296$)

Подставим полученные выражения в исходное:

$5\sqrt[4]{a} + 6\sqrt[4]{a} - 6\sqrt[4]{a} + 24\sqrt[4]{a}$

Сгруппируем слагаемые с общим множителем $\sqrt[4]{a}$:

$(5 + 6 - 6 + 24)\sqrt[4]{a} = (5 + 24)\sqrt[4]{a} = 29\sqrt[4]{a}$

Ответ: $29\sqrt[4]{a}$

9.17. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2\sqrt{3}}$;

2) $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$;

3) $\sqrt[4]{a^3\sqrt{a}}$;

4) $\sqrt[5]{b^6\sqrt{b}}$;

5) $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$;

6) $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{2\sqrt{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний знак корня. Поскольку степень внешнего корня равна 2, множитель 2 вносится под внутренний корень в квадрате:

$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$

Далее используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. В данном случае n=2 и m=2:

$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$

Ответ: $\sqrt[4]{12}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$. Внесем множитель 3 под внутренний знак корня. Степень внешнего корня равна 3, поэтому 3 вносится под внутренний корень в кубе:

$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{27 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{54}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, где n=3 и m=3:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3 \cdot 3]{54} = \sqrt[9]{54}$

Ответ: $\sqrt[9]{54}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}}$, предполагая, что $a \ge 0$. Внесем множитель $a^3$ под внутренний знак корня:

$\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{(a^3)^3 \cdot a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^9 \cdot a^1}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{10}}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{10}}} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{10}} = \sqrt[12]{a^{10}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2:

$\sqrt[12]{a^{10}} = \sqrt[6 \cdot 2]{a^{5 \cdot 2}} = \sqrt[6]{a^5}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^5}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[5]{b^6\sqrt[6]{b}}$, предполагая, что $b \ge 0$. Внесем множитель $b^6$ под внутренний знак корня:

$\sqrt[5]{b^6\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{(b^6)^6 \cdot b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{36} \cdot b^1}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{37}}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{37}}} = \sqrt[5 \cdot 6]{b^{37}} = \sqrt[30]{b^{37}}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[30]{b^{37}} = \sqrt[30]{b^{30} \cdot b^7} = \sqrt[30]{b^{30}} \cdot \sqrt[30]{b^7} = b\sqrt[30]{b^7}$

Ответ: $b\sqrt[30]{b^7}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$, предполагая, что $x \ge 0$. Внесем множитель $x^3$ под внутренний знак корня:

$\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^9 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}}$

Используем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}} = \sqrt[8 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[24]{x^{16}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 8:

$\sqrt[24]{x^{16}} = \sqrt[3 \cdot 8]{x^{2 \cdot 8}} = \sqrt[3]{x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

6) Упростим выражение $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$. Будем преобразовывать его, начиная с самого внутреннего корня.

Сначала внесем 2 под самый правый знак корня: $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{8}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{2\sqrt{\sqrt{8}}}$.

Теперь объединим два квадратных корня: $\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[2\cdot2]{8} = \sqrt[4]{8}$.

Получаем: $\sqrt[3]{2\sqrt[4]{8}}$.

Внесем 2 под знак корня четвертой степени: $2\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{16 \cdot 8} = \sqrt[4]{128}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{128}}$.

Наконец, объединим оставшиеся корни: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[3\cdot4]{128} = \sqrt[12]{128}$.

Зная, что $128 = 2^7$, можно записать ответ в виде $\sqrt[12]{2^7}$.

Ответ: $\sqrt[12]{128}$.