Номер 9.8, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.8. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt{x}}$;

2) $\sqrt{\sqrt{y}}$;

3) $\sqrt[12]{a^3}$;

4) $\sqrt[21]{a^{14}b^7}$;

5) $\sqrt[9]{64}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{\sqrt{x}}$ воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
В данном случае, показатель внешнего корня $m=6$, а показатель внутреннего (квадратного) корня $n=2$.
Перемножаем показатели корней: $\sqrt[6]{\sqrt{x}} = \sqrt[6 \cdot 2]{x} = \sqrt[12]{x}$.
Ответ: $\sqrt[12]{x}$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{y}}$ также используем свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Здесь показатель внешнего (квадратного) корня $m=2$, а показатель внутреннего (кубического) корня $n=3$.
Перемножаем показатели корней: $\sqrt{\sqrt[3]{y}} = \sqrt[2 \cdot 3]{y} = \sqrt[6]{y}$.
Ответ: $\sqrt[6]{y}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[12]{a^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.
Показатель корня равен 12, а показатель степени подкоренного выражения равен 3. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 3.
Сократим показатель корня и показатель степени на 3: $\sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12 \div 3]{a^{3 \div 3}} = \sqrt[4]{a^1} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

4) В выражении $\sqrt[21]{a^{14}b^7}$ можно упростить показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения.
Сначала представим подкоренное выражение как степень с одним показателем: $a^{14}b^7 = (a^2)^7 b^7 = (a^2b)^7$.
Тогда выражение примет вид: $\sqrt[21]{(a^2b)^7}$.
Теперь сократим показатель корня (21) и показатель степени подкоренного выражения (7) на их НОД, который равен 7:
$\sqrt[21]{(a^2b)^7} = \sqrt[21 \div 7]{(a^2b)^{7 \div 7}} = \sqrt[3]{(a^2b)^1} = \sqrt[3]{a^2b}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2b}$.

5) Чтобы упростить $\sqrt[9]{64}$, представим число 64 в виде степени.
$64 = 8^2 = (2^3)^2 = 2^6$.
Подставим это в исходное выражение: $\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^6}$.
Сократим показатель корня (9) и показатель степени подкоренного выражения (6) на их НОД, который равен 3:
$\sqrt[9]{2^6} = \sqrt[9 \div 3]{2^{6 \div 3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{4}$.