Номер 9.1, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.1. Найдите:

1) $\sqrt[3]{64 \cdot 125}$;

2) $\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5}$;

3) $\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{64 \cdot 125}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{64 \cdot 125} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{125}$

Теперь вычислим каждый корень отдельно. Кубический корень из 64 равен 4, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Кубический корень из 125 равен 5, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Подставим найденные значения в выражение:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20

2) В данном примере $\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5}$ мы также используем свойство корня из произведения, а также свойство корня из степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5} = \sqrt[5]{2^{10}} \cdot \sqrt[5]{7^5}$

Применим свойство корня из степени к каждому множителю:

$\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$

$\sqrt[5]{7^5} = 7^{\frac{5}{5}} = 7^1 = 7$

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot 7 = 28$

Ответ: 28

3) Для выражения $\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}}$ используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.

$\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}} = \sqrt[6]{3^{18}} \cdot \sqrt[6]{10^{24}}$

Применим свойство корня из степени:

$\sqrt[6]{3^{18}} = 3^{\frac{18}{6}} = 3^3 = 27$

$\sqrt[6]{10^{24}} = 10^{\frac{24}{6}} = 10^4 = 10000$

Вычислим произведение:

$27 \cdot 10000 = 270000$

Ответ: 270000

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12} \cdot 11^4}}{\sqrt[4]{5^8 \cdot 2^{16}}}$

Теперь применим свойство корня из произведения для числителя и знаменателя, а затем свойство корня из степени для каждого множителя.

$\frac{\sqrt[4]{3^{12}} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{2^{16}}} = \frac{3^{\frac{12}{4}} \cdot 11^{\frac{4}{4}}}{5^{\frac{8}{4}} \cdot 2^{\frac{16}{4}}} = \frac{3^3 \cdot 11^1}{5^2 \cdot 2^4}$

Вычислим значения в числителе и знаменателе, а затем найдем значение дроби:

$\frac{27 \cdot 11}{25 \cdot 16} = \frac{297}{400}$

Ответ: $\frac{297}{400}$