Номер 5, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Сформулируйте теорему о корне из корня.

Теорема о корне из корня формулируется следующим образом: для любого неотрицательного числа $a$ и для любых натуральных чисел $n$ и $k$ (больших 1), корень n-й степени из корня k-й степени из числа $a$ равен корню степени $nk$ из этого числа.

Математически это свойство записывается в виде формулы:

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$

где $a \ge 0$, а $n, k \in \mathbb{N}$, $n > 1, k > 1$.

Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, необходимо перемножить их показатели, а подкоренное выражение оставить прежним.

Доказательство теоремы:

Для доказательства воспользуемся определением арифметического корня и свойствами степени.

Обозначим выражение $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$ через $x$.

$x = \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$

Поскольку $a \ge 0$, то $\sqrt[k]{a} \ge 0$ и $x = \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} \ge 0$.

По определению корня n-й степени, если мы возведем $x$ в степень $n$, то получим подкоренное выражение $\sqrt[k]{a}$:

$x^n = (\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}})^n = \sqrt[k]{a}$

Теперь возведем обе части полученного равенства $x^n = \sqrt[k]{a}$ в степень $k$:

$(x^n)^k = (\sqrt[k]{a})^k$

Используя свойство степени "возведение степени в степень", согласно которому $(b^m)^p = b^{mp}$, и определение корня k-й степени $(\sqrt[k]{a})^k = a$, получим:

$x^{nk} = a$

Мы получили, что неотрицательное число $x$, возведенное в степень $nk$, равно $a$. Это, по определению, означает, что $x$ является арифметическим корнем степени $nk$ из числа $a$:

$x = \sqrt[nk]{a}$

Так как в начале мы положили $x = \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$, то мы доказали тождество:

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$

Теорема доказана.

Пример использования теоремы:

Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$.

Согласно теореме, мы можем перемножить показатели корней (3 и 2, так как квадратный корень имеет показатель 2):

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64}$

Найдем число, которое при возведении в 6-ю степень дает 64. Это число 2, так как $2^6 = 64$.

Следовательно, $\sqrt[6]{64} = 2$.

Проверим, вычисляя корни последовательно:

1. $\sqrt{64} = 8$

2. $\sqrt[3]{8} = 2$

Результаты совпадают.

Ответ: Теорема о корне из корня гласит: чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений. Для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n>1, k>1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$.