Номер 8.37, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.37. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^9}$;

2) $\sqrt{a^4 b^{13}}$, если $a \ne 0$;

3) $\sqrt{4x^6 y}$, если $x < 0$;

4) $\sqrt{45x^3 y^{14}}$, если $y < 0$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{-m^9}$, необходимо сначала определить область допустимых значений. Квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, поэтому $-m^9 \ge 0$. Это неравенство выполняется, когда $m^9 \le 0$, что означает $m \le 0$.
Теперь преобразуем подкоренное выражение, выделив множитель, который является полным квадратом. Поскольку степень нечетная, представим ее в виде суммы четного и нечетного числа: $m^9 = m^8 \cdot m$.
$\sqrt{-m^9} = \sqrt{-m \cdot m^8} = \sqrt{(-m) \cdot (m^4)^2}$
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и правило $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$\sqrt{(m^4)^2} \cdot \sqrt{-m} = |m^4|\sqrt{-m}$
Поскольку любое число, возведенное в четвертую степень, неотрицательно, то $|m^4| = m^4$.
Таким образом, выражение упрощается до $m^4\sqrt{-m}$. Это выражение определено при $m \le 0$.
Ответ: $m^4\sqrt{-m}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{a^4b^{13}}$, если $a \ne 0$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^4b^{13} \ge 0$. Так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$ (и $a^4 > 0$ при $a \ne 0$), это условие сводится к $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Представим множители под корнем в виде степеней с четными показателями:
$a^4 = (a^2)^2$
$b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^6)^2 \cdot b$
Тогда выражение под корнем будет: $a^4b^{13} = (a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b$.
$\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(b^6)^2} \cdot \sqrt{b}$
Применяя правило $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$|a^2| \cdot |b^6| \cdot \sqrt{b}$
Поскольку $a^2$ и $b^6$ всегда неотрицательны, их модули равны самим выражениям: $|a^2| = a^2$ и $|b^6| = b^6$.
Ответ: $a^2b^6\sqrt{b}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{4x^6y}$, если $x < 0$.
Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение $4x^6y \ge 0$. Так как $4 > 0$ и $x^6 \ge 0$ для любого $x$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $y \ge 0$.
Представим множители под корнем в виде полных квадратов:
$4 = 2^2$
$x^6 = (x^3)^2$
Подставляем в исходное выражение:
$\sqrt{4x^6y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{y}$
Выносим множители из-под знака корня:
$|2| \cdot |x^3| \cdot \sqrt{y} = 2|x^3|\sqrt{y}$
По условию $x < 0$. Если $x$ — отрицательное число, то $x^3$ также будет отрицательным числом. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|x^3| = -x^3$.
Заменяем $|x^3|$ на $-x^3$:
$2(-x^3)\sqrt{y} = -2x^3\sqrt{y}$.
Ответ: $-2x^3\sqrt{y}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если $y < 0$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $45x^3y^{14} \ge 0$. Так как $45 > 0$ и $y^{14} \ge 0$ для любого $y$ (и $y^{14} > 0$ при $y \ne 0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полные квадраты:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$x^3 = x^2 \cdot x$
$y^{14} = (y^7)^2$
Подставляем в исходное выражение:
$\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{3^2 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x \cdot (y^7)^2} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2 \cdot 5x}$
Выносим множители из-под знака корня:
$\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^7)^2} \cdot \sqrt{5x} = |3| \cdot |x| \cdot |y^7| \cdot \sqrt{5x}$
Раскроем модули с учетом условий:
$|3| = 3$
Так как $x \ge 0$, то $|x| = x$.
По условию $y < 0$. Если $y$ — отрицательное число, то $y^7$ также будет отрицательным. Поэтому $|y^7| = -y^7$.
Собираем все вместе:
$3 \cdot x \cdot (-y^7) \cdot \sqrt{5x} = -3xy^7\sqrt{5x}$.
Ответ: $-3xy^7\sqrt{5x}$