Номер 1, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Сформулируйте первую теорему о корне из степени.

1.

Первая теорема о корне из степени устанавливает связь между операциями извлечения корня и возведения в степень. Она формулируется следующим образом:

Теорема: Для любого неотрицательного числа $a$ и любых натуральных чисел $n$ и $k$, где $n \ge 2$, справедливо равенство:

$$ \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k $$

Словесно это можно выразить так: чтобы извлечь корень из степени, можно сначала извлечь корень из ее основания, а затем возвести полученный результат в показатель этой степени.

Доказательство:

Для доказательства равенства необходимо показать, что $n$-я степень выражения, стоящего в правой части, равна подкоренному выражению, стоящему в левой части. По определению арифметического корня, если $(\text{выражение})^n = \text{число}$ (и выражение неотрицательно), то $\text{выражение} = \sqrt[n]{\text{число}}$.

Возведем правую часть равенства, $(\sqrt[n]{a})^k$, в степень $n$:

$$ ((\sqrt[n]{a})^k)^n $$

Используя свойство степени $(x^m)^p = x^{mp} = (x^p)^m$, поменяем местами показатели степеней $k$ и $n$:

$$ ((\sqrt[n]{a})^n)^k $$

По определению арифметического корня $n$-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Подставим это значение в выражение:

$$ (a)^k = a^k $$

Мы получили, что $n$-я степень выражения $(\sqrt[n]{a})^k$ равна $a^k$. Поскольку по условию теоремы $a \ge 0$, то и $\sqrt[n]{a} \ge 0$, и, следовательно, $(\sqrt[n]{a})^k \ge 0$. Таким образом, по определению арифметического корня $n$-ой степени, выражение $(\sqrt[n]{a})^k$ является корнем $n$-ой степени из $a^k$.

$$ \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k $$

Теорема доказана.

Пример использования:

Вычислить $\sqrt[3]{27^4}$.

Применяя теорему, мы можем упростить вычисления:

$$ \sqrt[3]{27^4} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81 $$

Прямое вычисление было бы значительно сложнее, так как потребовало бы сначала возвести 27 в 4-ю степень ($27^4 = 531441$), а затем извлекать кубический корень из этого большого числа.

Важное замечание о тождестве $\sqrt[n]{a^n}$:

Частным, но очень важным случаем, который является следствием работы с корнями, является тождество для $\sqrt[n]{a^n}$. Его вид зависит от четности показателя корня $n$:

• Если $n$ — четное число, то $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Например, $\sqrt[4]{(-2)^4} = \sqrt[4]{16} = 2 = |-2|$.
• Если $n$ — нечетное число, то $\sqrt[n]{a^n} = a$. Например, $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ: Первая теорема о корне из степени гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и любых натуральных чисел $n \ge 2$ и $k$, справедливо равенство $ \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k $.