Номер 8.38, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.38. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{7}$, если $m \geq 0$;

2) $3n\sqrt{6}$, если $n \leq 0$;

3) $p\sqrt{p^3}$;

4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \leq 0$.

1) Чтобы внести множитель $m$ под знак корня в выражении $m\sqrt{7}$ при условии $m \ge 0$, воспользуемся правилом.
Для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) верно равенство $a = \sqrt{a^2}$. Поэтому, чтобы внести неотрицательный множитель под знак корня, его достаточно возвести в квадрат: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ (при $b \ge 0$).
Поскольку по условию $m \ge 0$, применяем это правило:
$m\sqrt{7} = \sqrt{m^2 \cdot 7} = \sqrt{7m^2}$.
Ответ: $\sqrt{7m^2}$

2) Необходимо внести множитель $3n$ под знак корня в выражении $3n\sqrt{6}$ при условии $n \le 0$.
Сначала определим знак множителя $3n$. Так как по условию $n \le 0$, то и $3n \le 0$, то есть множитель является неположительным числом.
Для любого неположительного числа $a$ ($a \le 0$) верно равенство $a = -\sqrt{a^2}$. Поэтому, чтобы внести неположительный множитель под знак корня, его возводят в квадрат, а перед корнем ставят знак «минус»: $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$ (при $b \ge 0$).
Применим это правило к нашему выражению, где $a = 3n$ и $b = 6$:
$3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2 \cdot 6} = -\sqrt{9n^2 \cdot 6} = -\sqrt{54n^2}$.
Ответ: $-\sqrt{54n^2}$

3) Нужно внести множитель $p$ под знак корня в выражении $p\sqrt{p^3}$.
Сначала определим область допустимых значений. Выражение $\sqrt{p^3}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $p^3 \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $p \ge 0$.
Так как множитель $p$ является неотрицательным, для внесения его под знак корня достаточно возвести его в квадрат:
$p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 \cdot p^3}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим подкоренное выражение:
$p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$.
Следовательно, результат: $\sqrt{p^5}$.
Ответ: $\sqrt{p^5}$

4) Внесем множитель $x^4y$ под знак корня в выражении $x^4y\sqrt{x^5y}$ при условии $y \le 0$.
Определим знак множителя $a = x^4y$. Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого действительного $x$. По условию $y \le 0$. Следовательно, произведение $x^4y$ является неположительным числом ($x^4y \le 0$).
Чтобы внести неположительный множитель под знак корня, его возводят в квадрат, а перед корнем ставят знак «минус»: $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$.
Применяя это правило, получаем:
$x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2 \cdot (x^5y)}$.
Теперь упростим выражение под корнем:
$(x^4y)^2 \cdot (x^5y) = (x^8y^2) \cdot (x^5y) = x^{8+5}y^{2+1} = x^{13}y^3$.
Таким образом, итоговое выражение: $-\sqrt{x^{13}y^3}$.
Стоит отметить, что область определения исходного выражения требует $x^5y \ge 0$. Так как $y \le 0$, это означает, что $x^5 \le 0$, то есть $x \le 0$.
Ответ: $-\sqrt{x^{13}y^3}$