Номер 8.34, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.34. Упростите выражение:

1) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

2) $\sqrt{16p^2}$, если $p \ge 0$;

3) $\sqrt{c^{12}}$;

4) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если $b \le 0$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{n^2} $ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $. Применив это свойство, получим: $ \sqrt{n^2} = |n| $. По условию задачи $ n < 0 $, то есть $n$ является отрицательным числом. По определению модуля, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Следовательно, $ |n| = -n $.
Ответ: $ -n $

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{16p^2} $. Сначала представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $ 16p^2 = (4p)^2 $. Тогда исходное выражение примет вид $ \sqrt{(4p)^2} $. Используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем $ \sqrt{(4p)^2} = |4p| $. По условию $ p \geq 0 $, что означает, что $p$ — неотрицательное число. Следовательно, выражение $4p$ также является неотрицательным ($ 4p \geq 0 $). По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Таким образом, $ |4p| = 4p $.
Ответ: $ 4p $

3) Упростим выражение $ \sqrt{c^{12}} $. Представим подкоренное выражение $ c^{12} $ как квадрат другого выражения, используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $: $ c^{12} = (c^6)^2 $. Тогда наше выражение можно переписать как $ \sqrt{(c^6)^2} $. Применим тождество $ \sqrt{a^2} = |a| $: $ \sqrt{(c^6)^2} = |c^6| $. Выражение $ c^6 $ всегда неотрицательно для любого действительного значения $c$, так как любое число в чётной степени ($6$) даёт неотрицательный результат. Поскольку $ c^6 \geq 0 $, по определению модуля $ |c^6| = c^6 $.
Ответ: $ c^6 $

4) Упростим выражение $ \sqrt{0,25b^{14}} $ при условии $ b \leq 0 $. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Мы знаем, что $ 0,25 = 0,5^2 $ и $ b^{14} = (b^7)^2 $. Следовательно, $ 0,25b^{14} = (0,5b^7)^2 $. Исходное выражение становится $ \sqrt{(0,5b^7)^2} $. Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, что даёт нам $ |0,5b^7| $. Теперь определим знак выражения $ 0,5b^7 $, учитывая условие $ b \leq 0 $. Поскольку $b$ возводится в нечётную степень ($7$), знак $ b^7 $ совпадает со знаком $b$. Так как $ b \leq 0 $, то и $ b^7 \leq 0 $. Произведение положительного числа $0,5$ на неположительное число $ b^7 $ является неположительным числом, то есть $ 0,5b^7 \leq 0 $. По определению модуля, для любого неположительного числа $a$ ($a \leq 0$) выполняется $ |a| = -a $. Применив это к нашему выражению, получаем $ |0,5b^7| = -(0,5b^7) = -0,5b^7 $.
Ответ: $ -0,5b^7 $