Номер 2, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Сформулируйте теорему о корне из произведения.

Теорема о корне из произведения

Словесная формулировка (для квадратного корня):
Корень из произведения двух или более неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Формула:
Если даны числа $a$ и $b$ такие, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то справедливо равенство: $$ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$ Эта теорема также верна для любого количества неотрицательных множителей. Например, для трех: $$ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $$ при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Доказательство:
Для доказательства равенства $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ необходимо показать, что выражение в правой части $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})$ является арифметическим квадратным корнем из выражения в левой части $(a \cdot b)$.
По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, должны выполняться два условия:
1. $y \ge 0$ (неотрицательность).
2. $y^2 = x$ (возведение в квадрат дает подкоренное выражение).

Проверим эти условия для нашего случая, где $y = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $x = a \cdot b$.
1. Проверка на неотрицательность. По условию теоремы, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно, следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполнено.
2. Проверка возведением в квадрат. Возведем правую часть равенства в квадрат, используя свойство степени произведения: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 $$ По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Таким образом, мы получаем: $$ (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b $$ Второе условие также выполнено.

Так как оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, теорема доказана.

Обобщение для корня n-ой степени:
Теорема обобщается для корней любой натуральной степени $n \ge 2$.
Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то: $$ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $$ Важное дополнение: если степень корня $n$ является нечетным числом, то ограничение на неотрицательность множителей ($a \ge 0, b \ge 0$) снимается, и формула становится верной для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Ответ: Теорема о корне из произведения гласит, что корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. В виде формулы для квадратного корня: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Для корня n-ой степени: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.