Номер 9.2, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.2. Вычислите:

1) $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$;

2) $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4}$;

3) $\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}}$;

4) $\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Разложим выражение на два множителя под корнем:

$\sqrt[3]{0,064 \cdot 343} = \sqrt[3]{0,064} \cdot \sqrt[3]{343}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$\sqrt[3]{0,064} = \sqrt[3]{(0,4)^3} = 0,4$

$\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$

Теперь перемножим полученные результаты:

$0,4 \cdot 7 = 2,8$

Ответ: $2,8$

2) Для вычисления $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4}$ применим то же свойство корня из произведения:

$\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{11^4}$

Вычислим каждый корень:

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3$

$\sqrt[4]{11^4} = 11$

Перемножим результаты:

$0,3 \cdot 11 = 3,3$

Ответ: $3,3$

3) Для вычисления $\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}}$ воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{7^5}}{\sqrt[5]{2^{10}}}$

Вычислим корень в числителе и знаменателе. Для этого можно использовать представление корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В числителе: $\sqrt[5]{7^5} = 7^{\frac{5}{5}} = 7^1 = 7$.

В знаменателе: $\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.

Получаем дробь:

$\frac{7}{4} = 1,75$

Ответ: $1,75$

4) Для вычисления $\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}}$ используем свойства корня из частного и произведения, а также представление корня в виде степени с дробным показателем.

$\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}} = \frac{\sqrt[8]{2^{24} \cdot 3^{16}}}{\sqrt[8]{5^{16}}} = \frac{\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{3^{16}}}{\sqrt[8]{5^{16}}}$

Вычислим каждую часть выражения:

$\sqrt[8]{2^{24}} = 2^{\frac{24}{8}} = 2^3 = 8$

$\sqrt[8]{3^{16}} = 3^{\frac{16}{8}} = 3^2 = 9$

$\sqrt[8]{5^{16}} = 5^{\frac{16}{8}} = 5^2 = 25$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{8 \cdot 9}{25} = \frac{72}{25}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$\frac{72}{25} = \frac{72 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{288}{100} = 2,88$

Ответ: $2,88$