Номер 3, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Сформулируйте теорему о корне из частного.

Теорема о корне из частного (или, что то же самое, из дроби) является одним из основных свойств корней. Она позволяет упрощать выражения, содержащие корень из дроби.

Формулировка теоремы:

Корень n-ой степени из частного двух чисел равен частному корней n-ой степени из делимого (числителя) и делителя (знаменателя), при условии, что все выражения имеют смысл.

Математическая запись:

В виде формулы теорема записывается так:
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
где $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $a$ и $b$ — некоторые числа.

Условия применимости теоремы:

Важно помнить об ограничениях, при которых эта формула верна. Ограничения зависят от четности показателя корня $n$.

• Если показатель корня $n$ — чётное число (например, квадратный корень, корень 4-й степени и т.д.), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как у нас дробь $\frac{a}{b}$, то числитель должен быть неотрицательным ($a \ge 0$), а знаменатель — строго положительным ($b > 0$), чтобы избежать деления на ноль.
• Если показатель корня $n$ — нечётное число (например, кубический корень, корень 5-й степени и т.д.), то корень можно извлекать из любого действительного числа. Поэтому единственное ограничение — это знаменатель не должен быть равен нулю ($b \ne 0$), а числитель $a$ может быть любым числом.

Пример использования:

Нужно вычислить значение выражения $ \sqrt[3]{\frac{-27}{64}} $.
Здесь показатель корня $n=3$ (нечётный), $a=-27$, $b=64$. Условия применимости соблюдены.
Применяем теорему:
$ \sqrt[3]{\frac{-27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}} $
Так как $(-3)^3 = -27$ и $4^3 = 64$, то:
$ \frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{-3}{4} = -0.75 $

Ответ: Теорема о корне из частного утверждает, что корень n-ой степени из дроби равен частному корней n-ой степени из числителя и знаменателя. Формула: $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $. Формула справедлива при условиях, что все входящие в нее выражения определены (для четного $n$: $a \ge 0, b > 0$; для нечетного $n$: $b \ne 0$).