Номер 8.35, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.35. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{0,64 \cdot 36}$;

2) $\sqrt{6^2 \cdot 3^4}$;

3) $\sqrt{\frac{81}{100}}$;

4) $\sqrt{3\frac{13}{36}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,64 \cdot 36}$ воспользуемся свойством корня из произведения: для неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{0,64 \cdot 36} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{36}$
Теперь вычислим каждый корень по отдельности:
$\sqrt{0,64} = 0,8$ (так как $0,8^2 = 0,64$)
$\sqrt{36} = 6$ (так как $6^2 = 36$)
Перемножим полученные значения:
$0,8 \cdot 6 = 4,8$.
Ответ: 4,8.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{6^2 \cdot 3^4}$ также используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и свойство извлечения корня из степени $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ (для $a \ge 0$).
$\sqrt{6^2 \cdot 3^4} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3^4}$
Вычислим каждый корень:
$\sqrt{6^2} = 6$
$\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$
Перемножим результаты:
$6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: 54.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{81}{100}}$ воспользуемся свойством корня из частного (дроби): для $a \ge 0$ и $b > 0$ справедливо равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}$
Вычисляем корни числителя и знаменателя:
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{100} = 10$
Получаем дробь:
$\frac{9}{10} = 0,9$.
Ответ: 0,9.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3\frac{13}{36}}$ сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{13}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{108 + 13}{36} = \frac{121}{36}$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{\frac{121}{36}}$. Воспользуемся свойством корня из дроби:
$\sqrt{\frac{121}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}}$
Вычисляем корни числителя и знаменателя:
$\sqrt{121} = 11$ (так как $11^2 = 121$)
$\sqrt{36} = 6$
Результатом является дробь $\frac{11}{6}$. Можно также представить ее в виде смешанного числа: $1\frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{11}{6}$.