Номер 8.28, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.28. Решите уравнение:

1) $(|x|-3)\sqrt[6]{2-x}=0;$

2) $(x+2)\sqrt[6]{x^2+2x-3}=0.$

1) $(|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Выражение $\sqrt[6]{2 - x}$ имеет смысл при условии (область допустимых значений, ОДЗ):

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

а) $|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

б) $\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Возведя обе части в шестую степень, получаем:

$2 - x = 0$

$x_3 = 2$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \le 2$.

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le 2$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le 2$, следовательно, он является решением уравнения.

Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $2 \le 2$, следовательно, он также является решением уравнения.

Ответ: $-3; 2$.

2) $(x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражение под корнем неотрицательно:

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

а) $x + 2 = 0$

$x_1 = -2$

б) $\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

Возведя обе части в шестую степень, получаем:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_2 = -3$ и $x_3 = 1$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные значения ОДЗ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x_1 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -2 < 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \in (-\infty; -3]$. Следовательно, это решение.

Корень $x_3 = 1$ принадлежит ОДЗ, так как $1 \in [1; +\infty)$. Следовательно, это решение.

Ответ: $-3; 1$.