Номер 8.23, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.23. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{3}$;

2) $\sqrt[4]{21}$;

3) $\sqrt[3]{100}$;

4) $-\sqrt[3]{81}$?

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{3}$, нужно найти два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 3.
Рассмотрим кубы целых чисел: $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$.
Так как $1 < 3 < 8$, мы можем записать неравенство: $1 < 3 < 8$.
Поскольку функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, извлечем кубический корень из всех частей неравенства, сохранив знаки: $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{8}$.
Это дает нам $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Следовательно, число $\sqrt[3]{3}$ находится между целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[4]{21}$, найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 21.
Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$.
Поскольку $16 < 21 < 81$, мы можем составить неравенство: $16 < 21 < 81$.
Извлечем корень четвертой степени из всех частей этого неравенства: $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{21} < \sqrt[4]{81}$.
Это упрощается до $2 < \sqrt[4]{21} < 3$.
Таким образом, число $\sqrt[4]{21}$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

3) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{100}$, нам нужно найти два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 100.
Рассмотрим кубы целых чисел: $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$.
Так как $64 < 100 < 125$, мы можем записать неравенство: $64 < 100 < 125$.
Извлечем кубический корень из всех частей неравенства: $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{100} < \sqrt[3]{125}$.
Это дает нам $4 < \sqrt[3]{100} < 5$.
Следовательно, число $\sqrt[3]{100}$ находится между целыми числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

4) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $-\sqrt[3]{81}$, сначала определим положение числа $\sqrt[3]{81}$.
Найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 81.
Рассмотрим кубы целых чисел: $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$.
Поскольку $64 < 81 < 125$, мы можем записать неравенство: $64 < 81 < 125$.
Извлечем кубический корень из всех частей: $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{81} < \sqrt[3]{125}$.
Это дает нам $4 < \sqrt[3]{81} < 5$.
Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-4 > -\sqrt[3]{81} > -5$.
Запишем это в привычном порядке возрастания: $-5 < -\sqrt[3]{81} < -4$.
Таким образом, число $-\sqrt[3]{81}$ находится между целыми числами -5 и -4.
Ответ: -5 и -4.