Номер 8.19, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.19. Решите уравнение:

1) $x^9 = 1$;

2) $x^{10} = 1$;

3) $x^{18} = 0$;

4) $x^6 = -64$;

5) $64x^5 + 2 = 0$;

6) $(x - 3)^6 = 729$.

1) $x^9 = 1$

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где $n=9$ — нечетное число. Уравнение с нечетным показателем степени всегда имеет один действительный корень. Чтобы найти этот корень, нужно извлечь корень степени $n$ из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[9]{1}$

Корень девятой степени из единицы равен единице.

$x = 1$

Ответ: $1$

2) $x^{10} = 1$

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где $n=10$ — четное число, а $a=1$ — положительное число. Если показатель степени — четное число, а правая часть уравнения положительна, то уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

$x = \pm\sqrt[10]{1}$

Корень десятой степени из единицы равен единице.

$x = \pm1$

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $1; -1$

3) $x^{18} = 0$

Это уравнение вида $x^n = 0$. При любом натуральном показателе степени $n$ такое уравнение имеет единственный корень.

$x = \sqrt[18]{0}$

$x = 0$

Ответ: $0$

4) $x^6 = -64$

В левой части уравнения стоит переменная $x$ в четной степени $n=6$. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$. В правой части уравнения стоит отрицательное число $-64$. Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

5) $64x^5 + 2 = 0$

Для решения этого уравнения сначала выразим $x^5$.

Перенесем слагаемое $2$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$64x^5 = -2$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^5$, то есть на $64$:

$x^5 = -\frac{2}{64}$

Сократим полученную дробь:

$x^5 = -\frac{1}{32}$

Мы получили уравнение вида $x^n = a$, где $n=5$ — нечетное число. Оно имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$

Так как $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}$, то корень уравнения:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) $(x-3)^6 = 729$

В этом уравнении в четную степень $n=6$ возводится целое выражение $(x-3)$. Пусть $y = x-3$. Тогда уравнение примет вид $y^6 = 729$.

Это уравнение вида $y^n = a$, где $n=6$ — четное число, а $a=729$ — положительное. Уравнение имеет два действительных корня.

$y = \pm\sqrt[6]{729}$

Найдем значение корня. Так как $3^6 = (3^2)^3 = 9^3 = 729$, то $\sqrt[6]{729} = 3$.

Значит, $y = \pm3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения:

1) $x-3 = 3$

$x = 3 + 3$

$x_1 = 6$

2) $x-3 = -3$

$x = -3 + 3$

$x_2 = 0$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 6$