Номер 8.17, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.17. Сравните:

1) $\sqrt[6]{55}$ и $\sqrt[6]{80}$;

2) $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

1) Сравните $\sqrt[6]{55}$ и $\sqrt[6]{80}$.

Для сравнения двух корней с одинаковым показателем степени необходимо сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt[n]{x}$ при четном показателе $n$ (в данном случае $n=6$) является возрастающей для всех неотрицательных значений $x$. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Сравним подкоренные выражения: 55 и 80.

$55 < 80$

Так как оба числа находятся под корнем одной и той же степени, и $55 < 80$, то и значение корня из 55 будет меньше значения корня из 80.

Следовательно, $\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}$.

Ответ: $\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}$.

2) Сравните $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

Функция $y=\sqrt[n]{x}$ при нечетном показателе $n$ (в данном случае $n=7$) является возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то и $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$. Таким образом, чтобы сравнить корни, нужно сравнить их подкоренные выражения.

Сравним подкоренные выражения: $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$.

Чтобы сравнить эти отрицательные дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 равен 12.

$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{4}{12}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{3}{12}$

Теперь сравним дроби $-\frac{4}{12}$ и $-\frac{3}{12}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-4| > |-3|$, то $-4 < -3$. Следовательно:

$-\frac{4}{12} < -\frac{3}{12}$

Это означает, что:

$-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$

Поскольку функция корня седьмой степени является возрастающей, то из неравенства подкоренных выражений следует соответствующее неравенство для самих корней.

Следовательно, $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

Ответ: $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.