Номер 8.13, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.13. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{2-x}$

2) $y = \sqrt[9]{\frac{x+1}{x-3}}$

3) $y = \sqrt[6]{x^2-4x+3}$

1) $y = \sqrt[4]{2-x}$

Область определения функции, содержащей корень четной степени (в данном случае, корень 4-й степени), определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Таким образом, необходимо решить неравенство:

$2 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, меняя знак:

$2 \ge x$

Это эквивалентно записи:

$x \le 2$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, меньшие или равные 2. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty, 2]$.

Ответ: $(-\infty, 2]$.

2) $y = \sqrt[9]{\frac{x+1}{x-3}}$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень 9-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Поэтому область определения функции совпадает с областью определения подкоренного выражения, которое представляет собой дробь $\frac{x+1}{x-3}$.

Единственное ограничение для дроби — ее знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:

$x - 3 \ne 0$

$x \ne 3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 3. В виде объединения промежутков это записывается как $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

3) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$

Функция содержит корень четной степени (корень 6-й степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим квадратное неравенство:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни (так как неравенство нестрогое).

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 3$.

В виде объединения промежутков это записывается как $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.