Номер 8.6, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Определение корня n-й степени. Функция у = n√x. Глава 2. Степенная функция - номер 8.6, страница 67.

8.6. Вычислите:

1) $(\sqrt[3]{5})^3$;

2) $(-\sqrt[4]{7})^4$;

3) $(-\sqrt[7]{2})^7$;

4) $-\sqrt[8]{7^8}$;

5) $\left(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48}\right)^6$;

6) $\frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6}$.

1) По определению корня n-й степени, возведение корня n-й степени в n-ю степень дает подкоренное выражение: $ (\sqrt[n]{a})^n = a $.
$ (\sqrt[3]{5})^3 = 5 $.
Ответ: 5.

2) При возведении отрицательного числа в четную степень (4) результат будет положительным. Далее используем свойство $ (\sqrt[n]{a})^n = a $.
$ (-\sqrt[4]{7})^4 = (\sqrt[4]{7})^4 = 7 $.
Ответ: 7.

3) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (7) результат будет отрицательным. Далее используем свойство $ (\sqrt[n]{a})^n = a $.
$ (-\sqrt[7]{2})^7 = -(\sqrt[7]{2})^7 = -2 $.
Ответ: -2.

4) Согласно свойству арифметического корня, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального четного числа $n$ верно, что $ \sqrt[n]{a^n} = a $. Знак минус стоит перед корнем, поэтому он сохраняется.
$ -\sqrt[8]{7^8} = -7 $.
Ответ: -7.

5) Используем свойство степени произведения $ (ab)^n = a^n b^n $.
$ (\frac{1}{2}\sqrt[6]{48})^6 = (\frac{1}{2})^6 \cdot (\sqrt[6]{48})^6 = \frac{1}{64} \cdot 48 $.
Сократим полученное произведение: $ \frac{48}{64} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 16} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $.

6) Сначала вычисляем значение корня, используя свойство $ \sqrt[n]{a^n} = a $ для $ a \geq 0 $.
$ \frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 $.
Ответ: 24.