Номер 8.1, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Определение корня n-й степени. Функция у = n√x. Глава 2. Степенная функция - номер 8.1, страница 67.

8.1. Имеет ли смысл запись:

1) $ \sqrt[3]{2}; $

2) $ \sqrt[3]{-2}; $

3) $ \sqrt[4]{2}; $

4) $ \sqrt[6]{0}; $

5) $ \sqrt[6]{-1}? $

Чтобы определить, имеет ли смысл запись, необходимо проанализировать показатель корня и подкоренное выражение. Основное правило для арифметического корня $ \sqrt[n]{a} $ в области действительных чисел:

• Если показатель корня $ n $ — нечетное число ($ n=3, 5, 7, \dots $), то корень можно извлекать из любого действительного числа $ a $ (положительного, отрицательного или нуля).
• Если показатель корня $ n $ — четное число ($ n=2, 4, 6, \dots $), то корень можно извлекать только из неотрицательного действительного числа $ a $ (то есть $ a \ge 0 $).

Применим эти правила к каждому выражению.

1) $ \sqrt[3]{2} $

В этом выражении показатель корня $ n=3 $ является нечетным числом. Подкоренное выражение $ a=2 $ является действительным числом. Поскольку корень нечетной степени определен для любого действительного числа, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

2) $ \sqrt[3]{-2} $

Здесь показатель корня $ n=3 $ также является нечетным числом. Подкоренное выражение $ a=-2 $ является действительным числом. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. Следовательно, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

3) $ \sqrt[4]{2} $

В этом случае показатель корня $ n=4 $ — четное число. Подкоренное выражение $ a=2 $ является положительным числом, то есть $ a \ge 0 $. Так как условие для корня четной степени (неотрицательность подкоренного выражения) выполняется, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

4) $ \sqrt[6]{0} $

Показатель корня $ n=6 $ является четным числом. Подкоренное выражение $ a=0 $. Условие $ a \ge 0 $ выполняется. Корень любой натуральной степени из нуля равен нулю. Таким образом, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

5) $ \sqrt[6]{-1} $

Показатель корня $ n=6 $ является четным числом. Подкоренное выражение $ a=-1 $ является отрицательным числом. Для корней четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поскольку $ -1 < 0 $, извлечь корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел невозможно. Не существует такого действительного числа $ x $, чтобы $ x^6 = -1 $.

Ответ: нет, не имеет смысла (в множестве действительных чисел).