Номер 8.4, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.4. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{216}$;

2) $\sqrt[4]{0,0016}$;

3) $\sqrt[5]{-0,00001}$;

4) $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$;

5) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$;

6) $\frac{1}{3}\sqrt[5]{-243}$;

7) $\sqrt[4]{9^2}$;

8) $\sqrt[6]{8^2}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{216}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 216. Мы ищем такое число $x$, что $x^3 = 216$. Можно заметить, что $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$. Таким образом, кубический корень из 216 равен 6.
$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.
Ответ: 6

2) Для вычисления $\sqrt[4]{0,0016}$ представим десятичное число 0,0016 как $16 \cdot 10^{-4}$ или как обыкновенную дробь $\frac{16}{10000}$. Выражение примет вид $\sqrt[4]{\frac{16}{10000}}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем:
$\sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Поскольку $2^4 = 16$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{16}=2$ и $\sqrt[4]{10000}=10$.
В результате получаем $\frac{2}{10} = 0,2$.
Альтернативно, можно заметить, что $0,2^4 = 0,0016$, поэтому $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$.
Ответ: 0,2

3) Вычислим $\sqrt[5]{-0,00001}$. Так как показатель корня (5) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным. Можно вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[5]{-0,00001} = -\sqrt[5]{0,00001}$.
Мы ищем число, пятая степень которого равна 0,00001. Так как $0,1^5 = 0,00001$, то $\sqrt[5]{0,00001} = 0,1$.
Следовательно, исходное выражение равно $-0,1$.
Можно также рассуждать так: $(-0,1)^5 = -0,00001$, поэтому $\sqrt[5]{-0,00001} = -0,1$.
Ответ: -0,1

4) Для вычисления $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243+13}{81} = \frac{256}{81}$.
Теперь нужно найти $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$. Применим свойство корня из дроби: $\frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$.
Найдем корни числителя и знаменателя: $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$, и $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
В итоге получаем $\frac{4}{3}$.
$\sqrt[4]{3\frac{13}{81}} = \sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

5) Найдем значение $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$. Показатель корня (3) нечетный, поэтому корень можно извлечь, и результат будет отрицательным.
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$.
Используя свойство корня из дроби, получаем $-\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $\sqrt[3]{1}=1$ и $\sqrt[3]{8}=2$ (поскольку $2^3=8$), результат равен $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) В выражении $\frac{1}{3}\sqrt[5]{-243}$ сначала вычислим корень $\sqrt[5]{-243}$. Показатель корня (5) нечетный, поэтому корень из отрицательного числа будет отрицательным. Мы ищем число, которое в пятой степени дает -243. Известно, что $3^5=243$, значит $(-3)^5=-243$.
Таким образом, $\sqrt[5]{-243} = -3$.
Теперь умножим полученное значение на коэффициент $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$.
Ответ: -1

7) Для вычисления $\sqrt[4]{9^2}$ можно использовать свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ для $a \ge 0$. Сократим показатель корня (4) и показатель степени подкоренного выражения (2) на их общий делитель 2:
$\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4/2]{9^{2/2}} = \sqrt[2]{9^1} = \sqrt{9}$.
Квадратный корень из 9 равен 3.
Другой способ — сначала возвести в степень: $\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4]{81}$. Так как $3^4=81$, то $\sqrt[4]{81}=3$.
Ответ: 3

8) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[6]{8^2}$, можно, как и в предыдущем примере, использовать свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ для $a \ge 0$. Сократим показатель корня (6) и показатель степени (2) на 2:
$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6/2]{8^{2/2}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$.
Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3=8$.
Другой способ — представить основание 8 как степень: $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Ответ: 2