Номер 7, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. Какими свойствами обладает функция $y = \sqrt[2k]{x}$, $k \in \mathbb{N}$?

Проанализируем свойства функции $y = \sqrt[2k]{x}$ при $k \in \mathbb{N}$. Показатель корня $n = 2k$ является четным натуральным числом ($2, 4, 6, \dots$).

Область определения

Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, для функции $y = \sqrt[2k]{x}$ должно выполняться условие $x \ge 0$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений

Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. При $x=0$ значение функции $y=\sqrt[2k]{0}=0$. При неограниченном возрастании $x$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, функция принимает все значения от 0 включительно до $+\infty$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, +\infty)$.

Четность и нечетность

Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат. Это означает, что для любого $x_0 > 0$ из области определения, точка $-x_0$ ей не принадлежит. Следовательно, проверка условия четности $f(-x)=f(x)$ или нечетности $f(-x)=-f(x)$ невозможна для всех $x$ из области определения.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная).

Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $y=0$, то есть $\sqrt[2k]{x} = 0$. Возводя обе части уравнения в степень $2k$, получаем $x = 0^{2k}$, что равносильно $x=0$.

Ответ: Функция имеет один ноль в точке $x=0$.

Промежутки знакопостоянства

Функция обращается в ноль только при $x=0$. Для всех остальных значений $x$ из области определения, то есть при $x > 0$, подкоренное выражение положительно. Арифметический корень четной степени из положительного числа всегда положителен.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$.

Монотонность

Для анализа монотонности найдем первую производную функции $y(x) = x^{\frac{1}{2k}}$. $y' = \frac{1}{2k}x^{\frac{1}{2k}-1} = \frac{1}{2k}x^{\frac{1-2k}{2k}} = \frac{1}{2k\sqrt[2k]{x^{2k-1}}}$. Поскольку $k \in \mathbb{N}$, то $2k > 0$. Для всех $x \in (0, +\infty)$ выражение в знаменателе положительно, следовательно, $y' > 0$. Это означает, что функция строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$. Учитывая непрерывность в точке $x=0$, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: Функция строго возрастает на всем промежутке $[0, +\infty)$.

Экстремумы

Поскольку функция строго возрастает на всей области определения $[0, +\infty)$, она достигает своего наименьшего значения в начальной точке области определения, то есть при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0)=0$. Так как функция не ограничена сверху, наибольшего значения (максимума) она не имеет.

Ответ: $y_{min} = 0$ при $x=0$ (точка глобального минимума). Точек максимума нет.

Ограниченность

Из области значений $E(y) = [0, +\infty)$ следует, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $y \ge 0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Поскольку область значений неограниченно простирается вверх, функция не ограничена сверху.

Ответ: Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Выпуклость и вогнутость

Для анализа выпуклости найдем вторую производную: $y''(x) = (y')' = (\frac{1}{2k}x^{\frac{1-2k}{2k}})' = \frac{1}{2k} \cdot \frac{1-2k}{2k} x^{\frac{1-2k}{2k}-1} = \frac{1-2k}{4k^2} x^{\frac{1-4k}{2k}}$. Поскольку $k \in \mathbb{N}$, то $k \ge 1$, а значит множитель $\frac{1-2k}{4k^2}$ всегда отрицателен. Для всех $x > 0$ множитель $x^{\frac{1-4k}{2k}}$ положителен. Следовательно, $y''(x) < 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: Функция является выпуклой вверх (вогнутой) на интервале $(0, +\infty)$.