Номер 1, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют корнем $n$-й степени из числа $a$, где $n \in N$, $n>1$?

1. Корнем $n$-й степени из числа $a$, где $n$ — натуральное число и $n > 1$, называют такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$.

Это определение можно записать в виде математического равенства: $b^n = a$. Число $b$ при этом обозначается как $\sqrt[n]{a}$.

В данном выражении:

• $a$ — подкоренное выражение,

• $n$ — показатель корня,

• $b$ — значение корня.

Например, корень кубический (3-й степени) из числа 27 равен 3, потому что $3^3 = 27$. Запись: $\sqrt[3]{27} = 3$.

При работе с действительными числами важно различать случаи в зависимости от четности показателя корня $n$.

Случай, когда показатель корня $n$ — четное число (n = 2, 4, 6, ...)

— Если подкоренное выражение $a > 0$, то существует два действительных корня $n$-й степени. Они являются противоположными числами. Положительный из этих корней называется арифметическим корнем $n$-й степени и обозначается символом $\sqrt[n]{a}$. Второй корень, соответственно, равен $-\sqrt[n]{a}$. Например, у числа 16 есть два корня 4-й степени: 2 и -2, так как $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$. Арифметическим корнем является $\sqrt[4]{16} = 2$.

— Если $a = 0$, то существует единственный корень, который равен нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.

— Если $a < 0$, то действительных корней $n$-й степени не существует. Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат.

Случай, когда показатель корня $n$ — нечетное число (n = 3, 5, 7, ...)

— Для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) существует единственный действительный корень $n$-й степени. Он обозначается $\sqrt[n]{a}$, и его знак всегда совпадает со знаком подкоренного выражения $a$.

— Например, $\sqrt[3]{-64} = -4$, потому что $(-4)^3 = -64$. В то же время, $\sqrt[5]{32} = 2$, потому что $2^5 = 32$.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n \in \mathbb{N}, n > 1$) называют число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$, то есть $b^n = a$.