Номер 5, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Какими свойствами обладает функция $y = \sqrt[2k+1]{x}$, $k \in \mathbb{N}$?

Проанализируем свойства функции $y = \sqrt[2k+1]{x}$, где $k \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $k = 1, 2, 3, \ldots$). Показатель корня $n = 2k+1$ является нечетным целым числом, большим или равным 3 (например, при $k=1, n=3$; при $k=2, n=5$ и т.д.).

Область определения

Корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$. Это означает, что подкоренное выражение может быть как положительным, так и отрицательным, или равным нулю. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений

Для любого действительного числа $y$ можно найти такое значение $x$, что $y = \sqrt[2k+1]{x}$. Для этого достаточно возвести $y$ в степень $2k+1$: $x = y^{2k+1}$. Поскольку $y$ может быть любым действительным числом, $x$ также будет действительным числом. Следовательно, функция может принимать любые действительные значения.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Четность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:$y(-x) = \sqrt[2k+1]{-x}$.Так как показатель корня $2k+1$ является нечетным, знак минус можно вынести из-под корня:$\sqrt[2k+1]{-x} = \sqrt[2k+1]{(-1) \cdot x} = \sqrt[2k+1]{-1} \cdot \sqrt[2k+1]{x} = -1 \cdot \sqrt[2k+1]{x} = -y(x)$.Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: функция является нечетной.

Нули функции и точки пересечения с осями

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:$\sqrt[2k+1]{x} = 0$.Возведя обе части в степень $2k+1$, получаем:$x = 0^{2k+1} \Rightarrow x = 0$.Функция имеет единственный нуль при $x=0$.Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$, $y = \sqrt[2k+1]{0} = 0$.Точка пересечения с осью Ox находится при $y=0$, что соответствует $x=0$.Таким образом, график функции пересекает обе оси координат в одной точке — начале координат (0, 0).

Ответ: $x=0$ — единственный нуль функции. График пересекает оси в точке $(0; 0)$.

Монотонность

Для исследования на монотонность найдем первую производную функции $y = x^{\frac{1}{2k+1}}$:$y' = \left(x^{\frac{1}{2k+1}}\right)' = \frac{1}{2k+1} x^{\frac{1}{2k+1}-1} = \frac{1}{2k+1} x^{\frac{-2k}{2k+1}} = \frac{1}{(2k+1)\sqrt[2k+1]{x^{2k}}}$.Поскольку $k \in \mathbb{N}$, множитель $\frac{1}{2k+1}$ положителен. Знаменатель $\sqrt[2k+1]{x^{2k}} = (\sqrt[2k+1]{x})^{2k}$ представляет собой выражение в четной степени $2k$, поэтому он положителен для всех $x \neq 0$. При $x=0$ производная не определена (касательная к графику в этой точке вертикальна).Так как $y' > 0$ для всех $x \neq 0$ и функция непрерывна в точке $x=0$, она строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция строго возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Экстремумы

Поскольку функция является строго монотонно возрастающей на всей области определения, она не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: точек экстремума нет.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:$y'' = \left(\frac{1}{2k+1} x^{-\frac{2k}{2k+1}}\right)' = \frac{1}{2k+1} \left(-\frac{2k}{2k+1}\right) x^{-\frac{2k}{2k+1}-1} = -\frac{2k}{(2k+1)^2} x^{-\frac{4k+1}{2k+1}} = -\frac{2k}{(2k+1)^2 \sqrt[2k+1]{x^{4k+1}}}$.Знак второй производной зависит от знака $x$. Коэффициент $-\frac{2k}{(2k+1)^2}$ всегда отрицателен. Знаменатель $\sqrt[2k+1]{x^{4k+1}}$ имеет тот же знак, что и $x$, так как степень $4k+1$ нечетная.При $x > 0$ знаменатель положителен, значит $y'' < 0$. Функция выпукла вверх (вогнута) на интервале $(0; +\infty)$.При $x < 0$ знаменатель отрицателен, значит $y'' > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута вверх) на интервале $(-\infty; 0)$.В точке $x=0$ происходит смена знака второй производной, и функция непрерывна в этой точке. Следовательно, точка $(0, 0)$ является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на $(-\infty; 0)$ и выпукла вверх на $(0; +\infty)$. Точка $(0; 0)$ — точка перегиба.

Асимптоты

Вертикальные асимптоты отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Горизонтальные асимптоты также отсутствуют, так как пределы функции при $x \to \pm\infty$ равны бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[2k+1]{x} = +\infty$ и $\lim_{x \to -\infty} \sqrt[2k+1]{x} = -\infty$. Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = mx+b$.Коэффициент $m$ находится по формуле: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt[2k+1]{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^{\frac{1}{2k+1}-1} = \lim_{x \to \pm\infty} x^{-\frac{2k}{2k+1}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{\frac{2k}{2k+1}}} = 0$.Коэффициент $b$ находится по формуле: $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\sqrt[2k+1]{x} - 0 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[2k+1]{x} = \pm\infty$.Так как предел для $b$ не является конечным числом, наклонных асимптот у функции нет.

Ответ: асимптот нет.

Непрерывность, периодичность и обратная функция

Функция является непрерывной на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$ как степенная функция. Функция не является периодической, так как она монотонно возрастает. Так как функция строго монотонна, она имеет обратную функцию. Чтобы ее найти, поменяем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt[2k+1]{y}$, откуда $y = x^{2k+1}$. Обратная функция $y=x^{2k+1}$ также определена и монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция непрерывна на $\mathbb{R}$, непериодическая, имеет обратную функцию $y=x^{2k+1}$.