Страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют корнем $n$-й степени из числа $a$, где $n \in N$, $n>1$?

1. Корнем $n$-й степени из числа $a$, где $n$ — натуральное число и $n > 1$, называют такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$.

Это определение можно записать в виде математического равенства: $b^n = a$. Число $b$ при этом обозначается как $\sqrt[n]{a}$.

В данном выражении:

• $a$ — подкоренное выражение,

• $n$ — показатель корня,

• $b$ — значение корня.

Например, корень кубический (3-й степени) из числа 27 равен 3, потому что $3^3 = 27$. Запись: $\sqrt[3]{27} = 3$.

При работе с действительными числами важно различать случаи в зависимости от четности показателя корня $n$.

Случай, когда показатель корня $n$ — четное число (n = 2, 4, 6, ...)

— Если подкоренное выражение $a > 0$, то существует два действительных корня $n$-й степени. Они являются противоположными числами. Положительный из этих корней называется арифметическим корнем $n$-й степени и обозначается символом $\sqrt[n]{a}$. Второй корень, соответственно, равен $-\sqrt[n]{a}$. Например, у числа 16 есть два корня 4-й степени: 2 и -2, так как $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$. Арифметическим корнем является $\sqrt[4]{16} = 2$.

— Если $a = 0$, то существует единственный корень, который равен нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.

— Если $a < 0$, то действительных корней $n$-й степени не существует. Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат.

Случай, когда показатель корня $n$ — нечетное число (n = 3, 5, 7, ...)

— Для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) существует единственный действительный корень $n$-й степени. Он обозначается $\sqrt[n]{a}$, и его знак всегда совпадает со знаком подкоренного выражения $a$.

— Например, $\sqrt[3]{-64} = -4$, потому что $(-4)^3 = -64$. В то же время, $\sqrt[5]{32} = 2$, потому что $2^5 = 32$.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n \in \mathbb{N}, n > 1$) называют число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$, то есть $b^n = a$.

2. При каких значениях $a$ имеет смысл выражение $\sqrt[2k+1]{a}$, $k \in \mathbb{N}$?

Область определения выражения вида $\sqrt[n]{a}$ (множество значений $a$, при которых выражение имеет смысл в действительных числах) зависит от четности показателя корня $n$.

1. Если показатель корня $n$ — четное натуральное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a \ge 0$.

2. Если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число, то подкоренное выражение $a$ может быть любым действительным числом: $a \in \mathbb{R}$.

В данном выражении $\sqrt[2k+1]{a}$ показатель корня равен $n = 2k+1$. По условию, $k$ — натуральное число, то есть $k \in \mathbb{N}$ (множество $\{1, 2, 3, \ldots\}$).

Рассмотрим показатель корня $n = 2k+1$. Так как $k$ — натуральное число, $2k$ всегда будет четным числом. Сумма четного числа ($2k$) и единицы ($1$) всегда дает в результате нечетное число.

Следовательно, для любого натурального $k$ показатель корня $2k+1$ является нечетным числом (например, при $k=1$ получаем $\sqrt[3]{a}$, при $k=2$ получаем $\sqrt[5]{a}$ и так далее).

Поскольку корень нечетной степени определен для любого действительного числа, то выражение $\sqrt[2k+1]{a}$ имеет смысл при любом значении $a$.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$ (то есть $a$ — любое действительное число).

3. Что называют арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a, где $n \in N$, $n > 1$?

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Давайте разберем это определение подробнее.

Пусть у нас есть выражение $x = \sqrt[n]{a}$. Чтобы оно было арифметическим корнем, должны выполняться несколько ключевых условий одновременно:

• Число под корнем (подкоренное выражение) $a$ должно быть неотрицательным: $a \ge 0$.
• Степень корня $n$ должна быть натуральным числом, большим единицы: $n \in \mathbb{N}, n > 1$.
• Результат извлечения корня, число $x$, также должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Именно это условие делает корень "арифметическим".
• Основное свойство корня: если возвести результат $x$ в степень $n$, мы должны получить исходное подкоренное число $a$: $x^n = a$.

Таким образом, запись $x = \sqrt[n]{a}$ (при $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}, n > 1$) является сокращенной формой для системы из двух утверждений:

1. $x \ge 0$

2. $x^n = a$

Примеры:

1. $\sqrt[3]{125} = 5$. Проверяем: $5 \ge 0$ (верно) и $5^3 = 125$ (верно).
2. $\sqrt[4]{81} = 3$. Проверяем: $3 \ge 0$ (верно) и $3^4 = 81$ (верно). Важно отметить, что хотя $(-3)^4 = 81$, число $-3$ является отрицательным, поэтому оно не может быть арифметическим корнем. Арифметический корень всегда один и он неотрицателен.
3. $\sqrt{49} = 7$. Когда показатель корня $n=2$ (квадратный корень), его принято не писать. Проверяем: $7 \ge 0$ (верно) и $7^2 = 49$ (верно).
4. Выражение $\sqrt[2]{-25}$ не является арифметическим корнем, так как подкоренное выражение $a=-25$ отрицательно, что противоречит определению.

Ответ: Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n$ — натуральное число, большее 1) называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

тельного числа $a$, где $n \in N$, $n > 1$.

4. При каких значениях $a$ имеет смысл выражение $\sqrt[2k]{a}$, $k \in N$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $a$ выражение $\sqrt[2k]{a}$ имеет смысл, необходимо проанализировать его структуру, в частности, показатель корня.

Выражение вида $\sqrt[n]{x}$, называемое корнем $n$-ой степени из $x$, определено в области действительных чисел в зависимости от четности показателя $n$.

Существует два основных правила:

1. Если показатель корня $n$ является нечетным натуральным числом (например, $3, 5, 7, \dots$), то корень можно извлечь из любого действительного числа. В этом случае выражение имеет смысл при любом $a \in \mathbb{R}$.

2. Если показатель корня $n$ является четным натуральным числом (например, $2, 4, 6, \dots$), то корень в области действительных чисел можно извлечь только из неотрицательного числа. То есть, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $a \ge 0$.

В заданном выражении $\sqrt[2k]{a}$ показатель корня равен $2k$. По условию, $k$ — это натуральное число, то есть $k \in \mathbb{N}$ (иначе говоря, $k$ может быть $1, 2, 3, \dots$).

При умножении любого натурального числа $k$ на $2$ мы всегда получаем четное натуральное число. Например:

• если $k=1$, показатель корня равен $2 \cdot 1 = 2$;
• если $k=2$, показатель корня равен $2 \cdot 2 = 4$;
• если $k=10$, показатель корня равен $2 \cdot 10 = 20$.

Таким образом, показатель корня $2k$ всегда является четным числом.

Поскольку показатель корня в выражении $\sqrt[2k]{a}$ всегда четный, мы должны применить второе правило: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

В данном случае подкоренным выражением является $a$. Следовательно, для того чтобы выражение $\sqrt[2k]{a}$ имело смысл, должно выполняться условие:

$a \ge 0$

Это требование справедливо для любого натурального значения $k$.

Ответ: $a \ge 0$.

5. Какими свойствами обладает функция $y = \sqrt[2k+1]{x}$, $k \in \mathbb{N}$?

Проанализируем свойства функции $y = \sqrt[2k+1]{x}$, где $k \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $k = 1, 2, 3, \ldots$). Показатель корня $n = 2k+1$ является нечетным целым числом, большим или равным 3 (например, при $k=1, n=3$; при $k=2, n=5$ и т.д.).

Область определения

Корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$. Это означает, что подкоренное выражение может быть как положительным, так и отрицательным, или равным нулю. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений

Для любого действительного числа $y$ можно найти такое значение $x$, что $y = \sqrt[2k+1]{x}$. Для этого достаточно возвести $y$ в степень $2k+1$: $x = y^{2k+1}$. Поскольку $y$ может быть любым действительным числом, $x$ также будет действительным числом. Следовательно, функция может принимать любые действительные значения.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Четность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:$y(-x) = \sqrt[2k+1]{-x}$.Так как показатель корня $2k+1$ является нечетным, знак минус можно вынести из-под корня:$\sqrt[2k+1]{-x} = \sqrt[2k+1]{(-1) \cdot x} = \sqrt[2k+1]{-1} \cdot \sqrt[2k+1]{x} = -1 \cdot \sqrt[2k+1]{x} = -y(x)$.Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: функция является нечетной.

Нули функции и точки пересечения с осями

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:$\sqrt[2k+1]{x} = 0$.Возведя обе части в степень $2k+1$, получаем:$x = 0^{2k+1} \Rightarrow x = 0$.Функция имеет единственный нуль при $x=0$.Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$, $y = \sqrt[2k+1]{0} = 0$.Точка пересечения с осью Ox находится при $y=0$, что соответствует $x=0$.Таким образом, график функции пересекает обе оси координат в одной точке — начале координат (0, 0).

Ответ: $x=0$ — единственный нуль функции. График пересекает оси в точке $(0; 0)$.

Монотонность

Для исследования на монотонность найдем первую производную функции $y = x^{\frac{1}{2k+1}}$:$y' = \left(x^{\frac{1}{2k+1}}\right)' = \frac{1}{2k+1} x^{\frac{1}{2k+1}-1} = \frac{1}{2k+1} x^{\frac{-2k}{2k+1}} = \frac{1}{(2k+1)\sqrt[2k+1]{x^{2k}}}$.Поскольку $k \in \mathbb{N}$, множитель $\frac{1}{2k+1}$ положителен. Знаменатель $\sqrt[2k+1]{x^{2k}} = (\sqrt[2k+1]{x})^{2k}$ представляет собой выражение в четной степени $2k$, поэтому он положителен для всех $x \neq 0$. При $x=0$ производная не определена (касательная к графику в этой точке вертикальна).Так как $y' > 0$ для всех $x \neq 0$ и функция непрерывна в точке $x=0$, она строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция строго возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Экстремумы

Поскольку функция является строго монотонно возрастающей на всей области определения, она не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: точек экстремума нет.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:$y'' = \left(\frac{1}{2k+1} x^{-\frac{2k}{2k+1}}\right)' = \frac{1}{2k+1} \left(-\frac{2k}{2k+1}\right) x^{-\frac{2k}{2k+1}-1} = -\frac{2k}{(2k+1)^2} x^{-\frac{4k+1}{2k+1}} = -\frac{2k}{(2k+1)^2 \sqrt[2k+1]{x^{4k+1}}}$.Знак второй производной зависит от знака $x$. Коэффициент $-\frac{2k}{(2k+1)^2}$ всегда отрицателен. Знаменатель $\sqrt[2k+1]{x^{4k+1}}$ имеет тот же знак, что и $x$, так как степень $4k+1$ нечетная.При $x > 0$ знаменатель положителен, значит $y'' < 0$. Функция выпукла вверх (вогнута) на интервале $(0; +\infty)$.При $x < 0$ знаменатель отрицателен, значит $y'' > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута вверх) на интервале $(-\infty; 0)$.В точке $x=0$ происходит смена знака второй производной, и функция непрерывна в этой точке. Следовательно, точка $(0, 0)$ является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на $(-\infty; 0)$ и выпукла вверх на $(0; +\infty)$. Точка $(0; 0)$ — точка перегиба.

Асимптоты

Вертикальные асимптоты отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Горизонтальные асимптоты также отсутствуют, так как пределы функции при $x \to \pm\infty$ равны бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[2k+1]{x} = +\infty$ и $\lim_{x \to -\infty} \sqrt[2k+1]{x} = -\infty$. Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = mx+b$.Коэффициент $m$ находится по формуле: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt[2k+1]{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^{\frac{1}{2k+1}-1} = \lim_{x \to \pm\infty} x^{-\frac{2k}{2k+1}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{\frac{2k}{2k+1}}} = 0$.Коэффициент $b$ находится по формуле: $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\sqrt[2k+1]{x} - 0 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[2k+1]{x} = \pm\infty$.Так как предел для $b$ не является конечным числом, наклонных асимптот у функции нет.

Ответ: асимптот нет.

Непрерывность, периодичность и обратная функция

Функция является непрерывной на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$ как степенная функция. Функция не является периодической, так как она монотонно возрастает. Так как функция строго монотонна, она имеет обратную функцию. Чтобы ее найти, поменяем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt[2k+1]{y}$, откуда $y = x^{2k+1}$. Обратная функция $y=x^{2k+1}$ также определена и монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция непрерывна на $\mathbb{R}$, непериодическая, имеет обратную функцию $y=x^{2k+1}$.

6. Изобразите схематически график функции $y = \sqrt[2k+1]{x}$, $k \in N$.

Для построения схематического графика функции $y = \sqrt[2k+1]{x}$, где $k \in \mathbb{N}$, проанализируем ее свойства.

Показатель корня $n = 2k+1$. Поскольку по условию $k$ является натуральным числом ($k = 1, 2, 3, \ldots$), показатель корня $n$ всегда будет нечетным целым числом, большим или равным 3 (например, при $k=1 \implies n=3$, при $k=2 \implies n=5$ и т.д.). Графики всех таких функций имеют схожий вид и обладают следующими свойствами:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа $x$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Функция является нечетной. Проверим: $y(-x) = \sqrt[2k+1]{-x} = -\sqrt[2k+1]{x} = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат (0,0).
• Точки пересечения с осями: График проходит через начало координат, точку (0,0). Это единственная точка пересечения с осями Ox и Oy.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
• Ключевые точки: График всегда проходит через точки (1,1) и (-1,-1), поскольку $\sqrt[2k+1]{1} = 1$ и $\sqrt[2k+1]{-1} = -1$ для любого $k \in \mathbb{N}$.
• Выпуклость: При $x > 0$ график является вогнутым (выпуклым вверх), а при $x < 0$ — выпуклым (выпуклым вниз). Точка (0,0) является точкой перегиба. Касательная к графику в этой точке вертикальна.

Схематически график функции $y = \sqrt[2k+1]{x}$ выглядит так же, как и график хорошо известной функции кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$.

Ответ:

Схематический график функции $y = \sqrt[2k+1]{x}$ представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, проходящую через точки (-1,-1), (0,0) и (1,1). Функция возрастает на всей области определения. График изображен ниже.

7. Какими свойствами обладает функция $y = \sqrt[2k]{x}$, $k \in \mathbb{N}$?

Проанализируем свойства функции $y = \sqrt[2k]{x}$ при $k \in \mathbb{N}$. Показатель корня $n = 2k$ является четным натуральным числом ($2, 4, 6, \dots$).

Область определения

Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, для функции $y = \sqrt[2k]{x}$ должно выполняться условие $x \ge 0$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений

Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. При $x=0$ значение функции $y=\sqrt[2k]{0}=0$. При неограниченном возрастании $x$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, функция принимает все значения от 0 включительно до $+\infty$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, +\infty)$.

Четность и нечетность

Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат. Это означает, что для любого $x_0 > 0$ из области определения, точка $-x_0$ ей не принадлежит. Следовательно, проверка условия четности $f(-x)=f(x)$ или нечетности $f(-x)=-f(x)$ невозможна для всех $x$ из области определения.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная).

Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $y=0$, то есть $\sqrt[2k]{x} = 0$. Возводя обе части уравнения в степень $2k$, получаем $x = 0^{2k}$, что равносильно $x=0$.

Ответ: Функция имеет один ноль в точке $x=0$.

Промежутки знакопостоянства

Функция обращается в ноль только при $x=0$. Для всех остальных значений $x$ из области определения, то есть при $x > 0$, подкоренное выражение положительно. Арифметический корень четной степени из положительного числа всегда положителен.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$.

Монотонность

Для анализа монотонности найдем первую производную функции $y(x) = x^{\frac{1}{2k}}$. $y' = \frac{1}{2k}x^{\frac{1}{2k}-1} = \frac{1}{2k}x^{\frac{1-2k}{2k}} = \frac{1}{2k\sqrt[2k]{x^{2k-1}}}$. Поскольку $k \in \mathbb{N}$, то $2k > 0$. Для всех $x \in (0, +\infty)$ выражение в знаменателе положительно, следовательно, $y' > 0$. Это означает, что функция строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$. Учитывая непрерывность в точке $x=0$, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: Функция строго возрастает на всем промежутке $[0, +\infty)$.

Экстремумы

Поскольку функция строго возрастает на всей области определения $[0, +\infty)$, она достигает своего наименьшего значения в начальной точке области определения, то есть при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0)=0$. Так как функция не ограничена сверху, наибольшего значения (максимума) она не имеет.

Ответ: $y_{min} = 0$ при $x=0$ (точка глобального минимума). Точек максимума нет.

Ограниченность

Из области значений $E(y) = [0, +\infty)$ следует, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $y \ge 0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Поскольку область значений неограниченно простирается вверх, функция не ограничена сверху.

Ответ: Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Выпуклость и вогнутость

Для анализа выпуклости найдем вторую производную: $y''(x) = (y')' = (\frac{1}{2k}x^{\frac{1-2k}{2k}})' = \frac{1}{2k} \cdot \frac{1-2k}{2k} x^{\frac{1-2k}{2k}-1} = \frac{1-2k}{4k^2} x^{\frac{1-4k}{2k}}$. Поскольку $k \in \mathbb{N}$, то $k \ge 1$, а значит множитель $\frac{1-2k}{4k^2}$ всегда отрицателен. Для всех $x > 0$ множитель $x^{\frac{1-4k}{2k}}$ положителен. Следовательно, $y''(x) < 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: Функция является выпуклой вверх (вогнутой) на интервале $(0, +\infty)$.

8. Изобразите схематически график функции $y = \sqrt[2k]{x}$, $k \in N$.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[2k]{x}$, где $k \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $k = 1, 2, 3, \ldots$).

Показатель корня в данной функции равен $n = 2k$. Поскольку $k$ - натуральное число, $n$ всегда будет четным натуральным числом ($2, 4, 6, \ldots$). Таким образом, мы имеем дело с функцией корня четной степени.

Для построения схематического графика проанализируем основные свойства этой функции:

1. Область определения. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$.
   Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.
2. Область значений. Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, $y \ge 0$.
   Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Ключевые точки. Найдем точки, через которые проходит график функции при любом натуральном $k$:
   • Если $x=0$, то $y = \sqrt[2k]{0} = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
   • Если $x=1$, то $y = \sqrt[2k]{1} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
4. Монотонность. Функция $y = \sqrt[2k]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. То есть, если $x_2 > x_1 \ge 0$, то $\sqrt[2k]{x_2} > \sqrt[2k]{x_1}$.
5. Влияние параметра $k$. Рассмотрим, как меняется график в зависимости от значения $k$. Сравним, например, графики для $k=1$ ($y=\sqrt{x}$) и для большего значения $k$, например $k=2$ ($y=\sqrt[4]{x}$).
   • При $0 < x < 1$: чем больше показатель корня $2k$, тем больше значение функции. Например, $\sqrt[4]{0.25} \approx 0.707$, а $\sqrt{0.25} = 0.5$. Таким образом, в интервале $(0, 1)$ график функции с большим $k$ будет лежать выше графика с меньшим $k$.
   • При $x > 1$: чем больше показатель корня $2k$, тем меньше значение функции. Например, $\sqrt[4]{16} = 2$, а $\sqrt{16} = 4$. Таким образом, в интервале $(1, +\infty)$ график функции с большим $k$ будет лежать ниже графика с меньшим $k$.
   Все графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Схематический график функции:

График представляет собой кривую, которая начинается в точке $(0, 0)$, проходит через точку $(1, 1)$ и уходит в бесконечность в первом координатном квадранте. Кривая выпукла вверх (вогнута). С увеличением $k$ кривая "прижимается" к оси $Oy$ на участке $(0, 1)$ и к оси $Ox$ на участке $(1, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[2k]{x}$ при $k \in \mathbb{N}$ — это кривая, расположенная в первом координатном квадранте, выходящая из начала координат $(0, 0)$, проходящая через точку $(1, 1)$, и являющаяся возрастающей и выпуклой вверх на всей области определения $[0, +\infty)$. С увеличением $k$ график на интервале $(0,1)$ поднимается выше, а на интервале $(1, +\infty)$ опускается ниже. Схематическое изображение представлено выше.

8.1. Имеет ли смысл запись:

1) $ \sqrt[3]{2}; $

2) $ \sqrt[3]{-2}; $

3) $ \sqrt[4]{2}; $

4) $ \sqrt[6]{0}; $

5) $ \sqrt[6]{-1}? $

Чтобы определить, имеет ли смысл запись, необходимо проанализировать показатель корня и подкоренное выражение. Основное правило для арифметического корня $ \sqrt[n]{a} $ в области действительных чисел:

• Если показатель корня $ n $ — нечетное число ($ n=3, 5, 7, \dots $), то корень можно извлекать из любого действительного числа $ a $ (положительного, отрицательного или нуля).
• Если показатель корня $ n $ — четное число ($ n=2, 4, 6, \dots $), то корень можно извлекать только из неотрицательного действительного числа $ a $ (то есть $ a \ge 0 $).

Применим эти правила к каждому выражению.

1) $ \sqrt[3]{2} $

В этом выражении показатель корня $ n=3 $ является нечетным числом. Подкоренное выражение $ a=2 $ является действительным числом. Поскольку корень нечетной степени определен для любого действительного числа, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

2) $ \sqrt[3]{-2} $

Здесь показатель корня $ n=3 $ также является нечетным числом. Подкоренное выражение $ a=-2 $ является действительным числом. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. Следовательно, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

3) $ \sqrt[4]{2} $

В этом случае показатель корня $ n=4 $ — четное число. Подкоренное выражение $ a=2 $ является положительным числом, то есть $ a \ge 0 $. Так как условие для корня четной степени (неотрицательность подкоренного выражения) выполняется, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

4) $ \sqrt[6]{0} $

Показатель корня $ n=6 $ является четным числом. Подкоренное выражение $ a=0 $. Условие $ a \ge 0 $ выполняется. Корень любой натуральной степени из нуля равен нулю. Таким образом, эта запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

5) $ \sqrt[6]{-1} $

Показатель корня $ n=6 $ является четным числом. Подкоренное выражение $ a=-1 $ является отрицательным числом. Для корней четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поскольку $ -1 < 0 $, извлечь корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел невозможно. Не существует такого действительного числа $ x $, чтобы $ x^6 = -1 $.

Ответ: нет, не имеет смысла (в множестве действительных чисел).

8.2. Верно ли равенство (ответ обоснуйте):

1) $\sqrt[3]{27} = 3;$

2) $\sqrt[3]{343} = -3;$

3) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} = -2?$

1) Равенство $\sqrt[3]{27} = 3$ верно.
Обоснование: По определению корня n-й степени, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ является верным, если выполняется условие $b^n = a$. В данном случае $n=3$, $a=27$ и $b=3$. Выполним проверку, возведя число 3 в третью степень: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Так как результат $27$ равен подкоренному выражению, исходное равенство верно.
Ответ: верно.

2) Равенство $\sqrt[3]{343} = -3$ неверно.
Обоснование: По определению кубического корня, если бы данное равенство было верным, то должно было бы выполняться условие $(-3)^3 = 343$. Проверим это: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$. Так как $-27 \ne 343$, исходное равенство неверно. Кроме того, следует помнить, что корень нечетной степени из положительного числа всегда является положительным числом. Верное значение: $\sqrt[3]{343} = 7$.
Ответ: неверно.

3) Равенство $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} = -2$ неверно.
Обоснование: По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае 4-й) из неотрицательного числа не может быть отрицательным. В правой части равенства стоит число -2, которое является отрицательным, поэтому равенство неверно уже по этой причине.
Для дополнительной проверки можно возвести правую часть в 4-ю степень. Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь: $7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567+58}{81} = \frac{625}{81}$. Если бы равенство было верным, то должно было бы выполняться условие $(-2)^4 = \frac{625}{81}$. Вычислим левую часть: $(-2)^4 = 16$. Так как $16 \ne \frac{625}{81}$, это также доказывает, что равенство неверно.
Ответ: неверно.

8.3. Докажите, что:

1) число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8;

2) число 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81;

3) число -3 не является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

1) число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8;

По определению, арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, что $x^3 = a$. Чтобы доказать, что 2 является арифметическим кубическим корнем из 8, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Число 2 является неотрицательным: $2 \ge 0$. Это условие выполнено.

2. Куб числа 2 равен 8: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Это условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения выполняются, число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8.

Ответ: Доказано.

2) число 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81;

По определению, арифметическим корнем четвёртой степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, что $x^4 = a$. Чтобы доказать, что 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из 81, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Число 3 является неотрицательным: $3 \ge 0$. Условие выполнено.

2. Четвёртая степень числа 3 равна 81: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$. Условие выполнено.

Так как оба условия определения выполняются, число 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

Ответ: Доказано.

3) число –3 не является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

По определению, арифметический корень чётной степени (в данном случае, четвёртой) из неотрицательного числа — это всегда неотрицательное число.

Число –3 является отрицательным ($ -3 < 0 $), поэтому оно не может быть арифметическим корнем по определению.

Хотя возведение –3 в четвёртую степень даёт 81 (т.е. $(-3)^4 = 81$), это означает лишь, что –3 является одним из корней уравнения $x^4 = 81$, но не его арифметическим корнем. Арифметическим корнем четвёртой степени из 81 является только число 3.

Ответ: Доказано.

8.4. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{216}$;

2) $\sqrt[4]{0,0016}$;

3) $\sqrt[5]{-0,00001}$;

4) $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$;

5) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$;

6) $\frac{1}{3}\sqrt[5]{-243}$;

7) $\sqrt[4]{9^2}$;

8) $\sqrt[6]{8^2}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{216}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 216. Мы ищем такое число $x$, что $x^3 = 216$. Можно заметить, что $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$. Таким образом, кубический корень из 216 равен 6.
$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.
Ответ: 6

2) Для вычисления $\sqrt[4]{0,0016}$ представим десятичное число 0,0016 как $16 \cdot 10^{-4}$ или как обыкновенную дробь $\frac{16}{10000}$. Выражение примет вид $\sqrt[4]{\frac{16}{10000}}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем:
$\sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Поскольку $2^4 = 16$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{16}=2$ и $\sqrt[4]{10000}=10$.
В результате получаем $\frac{2}{10} = 0,2$.
Альтернативно, можно заметить, что $0,2^4 = 0,0016$, поэтому $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$.
Ответ: 0,2

3) Вычислим $\sqrt[5]{-0,00001}$. Так как показатель корня (5) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным. Можно вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[5]{-0,00001} = -\sqrt[5]{0,00001}$.
Мы ищем число, пятая степень которого равна 0,00001. Так как $0,1^5 = 0,00001$, то $\sqrt[5]{0,00001} = 0,1$.
Следовательно, исходное выражение равно $-0,1$.
Можно также рассуждать так: $(-0,1)^5 = -0,00001$, поэтому $\sqrt[5]{-0,00001} = -0,1$.
Ответ: -0,1

4) Для вычисления $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243+13}{81} = \frac{256}{81}$.
Теперь нужно найти $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$. Применим свойство корня из дроби: $\frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$.
Найдем корни числителя и знаменателя: $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$, и $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
В итоге получаем $\frac{4}{3}$.
$\sqrt[4]{3\frac{13}{81}} = \sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

5) Найдем значение $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$. Показатель корня (3) нечетный, поэтому корень можно извлечь, и результат будет отрицательным.
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$.
Используя свойство корня из дроби, получаем $-\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $\sqrt[3]{1}=1$ и $\sqrt[3]{8}=2$ (поскольку $2^3=8$), результат равен $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) В выражении $\frac{1}{3}\sqrt[5]{-243}$ сначала вычислим корень $\sqrt[5]{-243}$. Показатель корня (5) нечетный, поэтому корень из отрицательного числа будет отрицательным. Мы ищем число, которое в пятой степени дает -243. Известно, что $3^5=243$, значит $(-3)^5=-243$.
Таким образом, $\sqrt[5]{-243} = -3$.
Теперь умножим полученное значение на коэффициент $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$.
Ответ: -1

7) Для вычисления $\sqrt[4]{9^2}$ можно использовать свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ для $a \ge 0$. Сократим показатель корня (4) и показатель степени подкоренного выражения (2) на их общий делитель 2:
$\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4/2]{9^{2/2}} = \sqrt[2]{9^1} = \sqrt{9}$.
Квадратный корень из 9 равен 3.
Другой способ — сначала возвести в степень: $\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4]{81}$. Так как $3^4=81$, то $\sqrt[4]{81}=3$.
Ответ: 3

8) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[6]{8^2}$, можно, как и в предыдущем примере, использовать свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ для $a \ge 0$. Сократим показатель корня (6) и показатель степени (2) на 2:
$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6/2]{8^{2/2}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$.
Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3=8$.
Другой способ — представить основание 8 как степень: $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Ответ: 2

8.5. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt[3]{343};$

2) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}};$

3) $0,5\sqrt[3]{-64};$

4) $\sqrt[100]{49^{50}} ?$

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{343}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 343. Таким числом является 7, так как $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$. Следовательно, $\sqrt[3]{343} = 7$.
Ответ: 7

2) Сначала преобразуем смешанное число $7\frac{58}{81}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: $7 \cdot 81 + 58 = 567 + 58 = 625$. Таким образом, $7\frac{58}{81} = \frac{625}{81}$. Теперь извлечем корень четвертой степени из этой дроби. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$. Найдем корни для числителя и знаменателя. Так как $5^4 = 625$ и $3^4 = 81$, то $\frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{5}{3}$. Дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

3) Для решения выражения $0,5\sqrt[3]{-64}$ сначала вычислим корень третьей степени из -64. Корень нечетной степени можно извлекать из отрицательных чисел. Нам нужно найти число, куб которого равен -64. Таким числом является -4, поскольку $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$. Теперь умножим полученный результат на 0,5: $0,5 \cdot (-4) = -2$.
Ответ: -2

4) Для вычисления $\sqrt[100]{49^{50}}$ воспользуемся свойствами степеней и корней. Представим основание 49 в виде степени: $49 = 7^2$. Подставим это в выражение: $\sqrt[100]{(7^2)^{50}}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ упростим подкоренное выражение: $(7^2)^{50} = 7^{2 \cdot 50} = 7^{100}$. Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[100]{7^{100}}$. По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), следовательно, $\sqrt[100]{7^{100}} = 7$.
Ответ: 7

8.6. Вычислите:

1) $(\sqrt[3]{5})^3$;

2) $(-\sqrt[4]{7})^4$;

3) $(-\sqrt[7]{2})^7$;

4) $-\sqrt[8]{7^8}$;

5) $\left(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48}\right)^6$;

6) $\frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6}$.

1) По определению корня n-й степени, возведение корня n-й степени в n-ю степень дает подкоренное выражение: $ (\sqrt[n]{a})^n = a $.
$ (\sqrt[3]{5})^3 = 5 $.
Ответ: 5.

2) При возведении отрицательного числа в четную степень (4) результат будет положительным. Далее используем свойство $ (\sqrt[n]{a})^n = a $.
$ (-\sqrt[4]{7})^4 = (\sqrt[4]{7})^4 = 7 $.
Ответ: 7.

3) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (7) результат будет отрицательным. Далее используем свойство $ (\sqrt[n]{a})^n = a $.
$ (-\sqrt[7]{2})^7 = -(\sqrt[7]{2})^7 = -2 $.
Ответ: -2.

4) Согласно свойству арифметического корня, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального четного числа $n$ верно, что $ \sqrt[n]{a^n} = a $. Знак минус стоит перед корнем, поэтому он сохраняется.
$ -\sqrt[8]{7^8} = -7 $.
Ответ: -7.

5) Используем свойство степени произведения $ (ab)^n = a^n b^n $.
$ (\frac{1}{2}\sqrt[6]{48})^6 = (\frac{1}{2})^6 \cdot (\sqrt[6]{48})^6 = \frac{1}{64} \cdot 48 $.
Сократим полученное произведение: $ \frac{48}{64} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 16} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $.

6) Сначала вычисляем значение корня, используя свойство $ \sqrt[n]{a^n} = a $ для $ a \geq 0 $.
$ \frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 $.
Ответ: 24.