Страница 61 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.19. Найдите значение выражения:

1) $5\sqrt{4} - \sqrt{25};$

2) $\frac{1}{3}\sqrt{0,09} - 2;$

3) $(\sqrt{13})^2 - 3 \cdot (\sqrt{8})^2.$

1) Чтобы найти значение выражения $5\sqrt{4} - \sqrt{25}$, необходимо сначала вычислить значения квадратных корней, а затем выполнить арифметические операции в соответствии с их порядком.
Вычислим значение квадратного корня из 4:
$\sqrt{4} = 2$, так как $2^2 = 4$.
Вычислим значение квадратного корня из 25:
$\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$5\sqrt{4} - \sqrt{25} = 5 \cdot 2 - 5$.
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем умножение:
$5 \cdot 2 = 10$.
Затем выполняем вычитание:
$10 - 5 = 5$.
Ответ: 5.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{3}\sqrt{0,09} - 2$, сначала извлечем квадратный корень.
Вычислим значение квадратного корня из 0,09:
$\sqrt{0,09} = \sqrt{(0,3)^2} = 0,3$.
Подставим это значение обратно в выражение:
$\frac{1}{3} \cdot 0,3 - 2$.
Выполним операцию умножения. Умножить число на $\frac{1}{3}$ — это то же самое, что разделить его на 3:
$\frac{1}{3} \cdot 0,3 = \frac{0,3}{3} = 0,1$.
Теперь выполним вычитание:
$0,1 - 2 = -1,9$.
Ответ: -1,9.

3) Для нахождения значения выражения $(\sqrt{13})^2 - 3 \cdot (\sqrt{8})^2$ воспользуемся свойством квадратного корня, которое гласит, что $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$.
Применим это свойство к первому члену выражения:
$(\sqrt{13})^2 = 13$.
Применим это же свойство ко второму множителю во втором члене:
$(\sqrt{8})^2 = 8$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$13 - 3 \cdot 8$.
В соответствии с порядком действий, сначала выполняем умножение:
$3 \cdot 8 = 24$.
Затем выполняем вычитание:
$13 - 24 = -11$.
Ответ: -11.

7.20. Решите уравнение:

1) $x^2 = 25$;

2) $x^2 = 0,49$;

3) $x^2 = 3$;

4) $x^2 = -25$.

1) Чтобы решить уравнение $x^2 = 25$, необходимо найти число или числа, квадрат которых равен 25. Для этого извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, всегда имеет два решения: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{25}$
Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем два корня:
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$
Ответ: $\pm 5$.

2) Дано уравнение $x^2 = 0,49$. Решение находится аналогично предыдущему пункту. Извлекаем квадратный корень из 0,49.
$x = \pm\sqrt{0,49}$
Так как $0,7 \times 0,7 = 0,49$, то $\sqrt{0,49} = 0,7$.
Следовательно, решениями уравнения являются:
$x_1 = 0,7$
$x_2 = -0,7$
Ответ: $\pm 0,7$.

3) Дано уравнение $x^2 = 3$. Извлекаем квадратный корень из 3.
$x = \pm\sqrt{3}$
Число 3 не является полным квадратом целого числа, поэтому его квадратный корень является иррациональным числом. В таких случаях ответ принято записывать, оставляя знак корня.
Решениями уравнения являются:
$x_1 = \sqrt{3}$
$x_2 = -\sqrt{3}$
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

4) Дано уравнение $x^2 = -25$. Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-25).
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

7.21. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{-x}$;

2) $\sqrt{x^2}$;

3) $\sqrt{-x^2}$;

4) $\sqrt{x-8}$;

5) $\sqrt{x^2+8}$;

6) $\sqrt{(x-8)^2}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$?

1) Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение (радиканд) неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:

$-x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x \le 0$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны нулю.

Ответ: $x \le 0$.

2) Выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $x^2$ неотрицательно:

$x^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

3) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $-x^2$ неотрицательно:

$-x^2 \ge 0$

Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Если умножить это неравенство на -1, получим $-x^2 \le 0$. Таким образом, выражение $-x^2$ всегда неположительно. Условие $-x^2 \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда выражение равно нулю.

$-x^2 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Выражение имеет смысл только при $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4) Выражение $\sqrt{x-8}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $x-8$ неотрицательно:

$x - 8 \ge 0$

Перенесем 8 в правую часть неравенства:

$x \ge 8$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны 8.

Ответ: $x \ge 8$.

5) Выражение $\sqrt{x^2 + 8}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $x^2 + 8$ неотрицательно:

$x^2 + 8 \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то сумма $x^2 + 8$ всегда будет больше или равна 8, а значит, всегда будет положительной. Неравенство $x^2+8 \ge 0$ выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

6) Выражение $\sqrt{(x-8)^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $(x-8)^2$ неотрицательно:

$(x-8)^2 \ge 0$

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

7) В выражении $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$ корень находится в знаменателе дроби. Это накладывает два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(x-8)^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$.
2. Знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{(x-8)^2} \ne 0$.

Объединяя эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$(x-8)^2 > 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Во всех остальных случаях квадрат числа положителен. Значит, нам нужно исключить случай, когда $(x-8)^2 = 0$.

$x-8 \ne 0$

$x \ne 8$

Выражение имеет смысл при любых значениях $x$, кроме 8.

Ответ: $x \ne 8$.

8) В выражении $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$ корень также находится в знаменателе. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным, чтобы и корень извлекался, и знаменатель не был равен нулю.

$x - 3 > 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$x > 3$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые строго больше 3.

Ответ: $x > 3$.

7.22. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$;

2) $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26}$;

3) $\sqrt{33}$ и 6;

4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$;

5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$;

6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$ сравним их подкоренные выражения. Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$

Так как $5 > 3$, то $\frac{5}{15} > \frac{3}{15}$, следовательно, $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных чисел. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Таким образом, из $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ следует, что $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26}$, нужно сравнить их подкоренные выражения. Так как $32 > 26$, и функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

Ответ: $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

3) Для сравнения чисел $\sqrt{33}$ и $6$ представим число $6$ в виде квадратного корня. Так как $6$ — положительное число, то $6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$.

Теперь сравним $\sqrt{33}$ и $\sqrt{36}$. Поскольку $33 < 36$, то $\sqrt{33} < \sqrt{36}$.

Следовательно, $\sqrt{33} < 6$.

Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

4) Чтобы сравнить числа $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$, внесем множитель $3$ под знак корня. Так как $3 > 0$, то $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42}$. Поскольку $45 > 42$, то $\sqrt{45} > \sqrt{42}$.

Следовательно, $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

Ответ: $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

5) Для сравнения чисел $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$, внесем множитель $2$ под знак корня. Так как $2 > 0$, то $2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.

Теперь сравним $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$. Поскольку $30 > 28$, то $\sqrt{30} > \sqrt{28}$.

Следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

6) Чтобы сравнить числа $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$, преобразуем оба выражения, внеся множители под знак корня.

Для первого числа: $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.

Для второго числа: $\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

7.23. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x}=-x-1$;

2) $\sqrt{x}=2-x$;

3) $\sqrt{x}=\frac{1}{x}$.

1) Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = -x - 1$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 1$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки их пересечения.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, ось которой совпадает с осью Ox. Она начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3). Все точки этого графика находятся в первой координатной четверти (или в начале координат), поэтому для них выполняются условия $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки. Например, при $x = 0$, $y = -1$ (точка (0, -1)), и при $y = 0$, $x = -1$ (точка (-1, 0)).

Построим оба графика. График $y = \sqrt{x}$ лежит целиком в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Прямая $y = -x - 1$ в области определения функции $y=\sqrt{x}$ (то есть при $x \ge 0$) проходит ниже оси Ox. Например, при $x=0$, $y=-1$; при $x=1$, $y=-2$. Таким образом, графики функций не пересекаются.

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Найдем две точки для построения: при $x = 0$, $y = 2$ (точка (0, 2)), и при $x = 2$, $y = 0$ (точка (2, 0)).

При построении графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки можно определить подбором. Проверим значение $x=1$:
Для первой функции: $y = \sqrt{1} = 1$.
Для второй функции: $y = 2 - 1 = 1$.
Так как значения $y$ совпали, точка (1, 1) является точкой пересечения графиков.

Абсцисса точки пересечения $x=1$ является решением уравнения.

Ответ: $x = 1$.

3) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы с вершиной в точке (0, 0), проходящая через точки (1, 1) и (4, 2). Область определения функции: $x \ge 0$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку для функции $y=\sqrt{x}$ определено только $x \ge 0$, нас интересует только ветвь гиперболы в первой четверти ($x > 0$). Эта ветвь проходит через точки (1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2).

Построим графики. Видно, что они пересекаются в одной точке. Проверим значение $x=1$:
Для первой функции: $y = \sqrt{1} = 1$.
Для второй функции: $y = \frac{1}{1} = 1$.
Значения совпали, значит, точка (1, 1) — точка пересечения.

Следовательно, решением уравнения является абсцисса точки пересечения $x=1$.

Ответ: $x = 1$.