Номер 7.22, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.22. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$;

2) $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26}$;

3) $\sqrt{33}$ и 6;

4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$;

5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$;

6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$ сравним их подкоренные выражения. Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$

Так как $5 > 3$, то $\frac{5}{15} > \frac{3}{15}$, следовательно, $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных чисел. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Таким образом, из $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ следует, что $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26}$, нужно сравнить их подкоренные выражения. Так как $32 > 26$, и функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

Ответ: $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

3) Для сравнения чисел $\sqrt{33}$ и $6$ представим число $6$ в виде квадратного корня. Так как $6$ — положительное число, то $6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$.

Теперь сравним $\sqrt{33}$ и $\sqrt{36}$. Поскольку $33 < 36$, то $\sqrt{33} < \sqrt{36}$.

Следовательно, $\sqrt{33} < 6$.

Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

4) Чтобы сравнить числа $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$, внесем множитель $3$ под знак корня. Так как $3 > 0$, то $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42}$. Поскольку $45 > 42$, то $\sqrt{45} > \sqrt{42}$.

Следовательно, $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

Ответ: $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

5) Для сравнения чисел $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$, внесем множитель $2$ под знак корня. Так как $2 > 0$, то $2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.

Теперь сравним $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$. Поскольку $30 > 28$, то $\sqrt{30} > \sqrt{28}$.

Следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

6) Чтобы сравнить числа $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$, преобразуем оба выражения, внеся множители под знак корня.

Для первого числа: $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.

Для второго числа: $\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.