Номер 7.21, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.21. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{-x}$;

2) $\sqrt{x^2}$;

3) $\sqrt{-x^2}$;

4) $\sqrt{x-8}$;

5) $\sqrt{x^2+8}$;

6) $\sqrt{(x-8)^2}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$?

1) Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение (радиканд) неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:

$-x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x \le 0$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны нулю.

Ответ: $x \le 0$.

2) Выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $x^2$ неотрицательно:

$x^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

3) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $-x^2$ неотрицательно:

$-x^2 \ge 0$

Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Если умножить это неравенство на -1, получим $-x^2 \le 0$. Таким образом, выражение $-x^2$ всегда неположительно. Условие $-x^2 \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда выражение равно нулю.

$-x^2 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Выражение имеет смысл только при $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4) Выражение $\sqrt{x-8}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $x-8$ неотрицательно:

$x - 8 \ge 0$

Перенесем 8 в правую часть неравенства:

$x \ge 8$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны 8.

Ответ: $x \ge 8$.

5) Выражение $\sqrt{x^2 + 8}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $x^2 + 8$ неотрицательно:

$x^2 + 8 \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то сумма $x^2 + 8$ всегда будет больше или равна 8, а значит, всегда будет положительной. Неравенство $x^2+8 \ge 0$ выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

6) Выражение $\sqrt{(x-8)^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $(x-8)^2$ неотрицательно:

$(x-8)^2 \ge 0$

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

7) В выражении $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$ корень находится в знаменателе дроби. Это накладывает два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(x-8)^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$.
2. Знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{(x-8)^2} \ne 0$.

Объединяя эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$(x-8)^2 > 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Во всех остальных случаях квадрат числа положителен. Значит, нам нужно исключить случай, когда $(x-8)^2 = 0$.

$x-8 \ne 0$

$x \ne 8$

Выражение имеет смысл при любых значениях $x$, кроме 8.

Ответ: $x \ne 8$.

8) В выражении $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$ корень также находится в знаменателе. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным, чтобы и корень извлекался, и знаменатель не был равен нулю.

$x - 3 > 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$x > 3$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые строго больше 3.

Ответ: $x > 3$.