Номер 7.17, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.17. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = x^2 - 2. \end{cases}$

1) Чтобы графически определить количество решений системы уравнений, нужно построить графики функций $y = x^{-3}$ и $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Первая функция $y = x^{-3}$, или $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой, а ось $Oy$ — вертикальной асимптотой.

Вторая функция $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{8} > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (1/8)} = 0$, $y_0 = \frac{1}{8}(0)^2 - 4 = -4$. То есть, вершина в точке $(0, -4)$.

Рассмотрим пересечение графиков:

• При $x > 0$ (в I и IV четвертях): График $y = x^{-3}$ находится в I четверти, убывая от $+\infty$ до $0$. График параболы $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ возрастает от своей вершины $(0, -4)$, пересекая ось $Ox$ и уходя в I четверть. Так как парабола начинается ниже графика $y=x^{-3}$ (который уходит в $+\infty$ при $x \to 0^+$) и при больших $x$ растет до $+\infty$, а график $y=x^{-3}$ стремится к 0, графики обязательно пересекутся один раз в I четверти.
• При $x < 0$ (во II и III четвертях): График $y = x^{-3}$ находится в III четверти, возрастая от $-\infty$ до $0$. График параболы $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ убывает до своей вершины, находясь во II и III четвертях. Вблизи оси $Oy$ (при $x \to 0^-$) парабола находится в точке $(0, -4)$, а график $y = x^{-3}$ уходит в $-\infty$, то есть парабола выше. При $x \to -\infty$ парабола уходит в $+\infty$, а график $y = x^{-3}$ стремится к $0$, то есть парабола снова выше. Однако, если взять промежуточную точку, например $x=-2$, то для параболы $y = \frac{1}{8}(-2)^2 - 4 = 0.5 - 4 = -3.5$, а для $y=x^{-3}$ имеем $y = (-2)^{-3} = -1/8 = -0.125$. В этой точке парабола ниже. Это означает, что графики пересекаются дважды: один раз на интервале $(-2, 0)$ и второй раз на интервале $(-\infty, -2)$.

Таким образом, всего существует $1 + 2 = 3$ точки пересечения.

Ответ: 3.

2) Чтобы графически определить количество решений системы уравнений, нужно построить графики функций $y = x^{-2}$ и $y = x^2 - 2$ в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Первая функция $y = x^{-2}$, или $y = \frac{1}{x^2}$. Это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и II координатных четвертях (так как $y > 0$ для всех $x \neq 0$) и симметричен относительно оси $Oy$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой, а ось $Oy$ — вертикальной асимптотой.

Вторая функция $y = x^2 - 2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. График также симметричен относительно оси $Oy$.

Рассмотрим пересечение графиков. Поскольку обе функции четные, их графики симметричны относительно оси $Oy$. Поэтому достаточно найти количество решений для $x > 0$ и умножить его на 2.

• При $x > 0$: График $y = x^{-2}$ находится в I четверти и убывает от $+\infty$ до $0$. График параболы $y = x^2 - 2$ возрастает от своей вершины $(0, -2)$, пересекает ось $Ox$ в точке $x = \sqrt{2}$ и уходит в $+\infty$. При $x \to 0^+$ график $y=x^{-2}$ уходит в $+\infty$, а парабола приближается к $-2$. При $x=\sqrt{2}$, парабола имеет значение $y=0$, а график $y=x^{-2}$ имеет значение $y=1/2$. При $x=2$ парабола имеет значение $y=2$, а график $y=x^{-2}$ - значение $y=1/4$. Так как в одной точке парабола ниже, а в другой — выше, и обе функции непрерывны для $x > 0$, они должны пересечься ровно один раз.
• В силу симметрии относительно оси $Oy$, для $x < 0$ также будет одна точка пересечения.

Таким образом, всего существует $1 + 1 = 2$ точки пересечения.

Ответ: 2.