Номер 7.12, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.12. Постройте график функции:

1) $y = x^{-2} + 2$; 3) $y = -\frac{1}{2}x^{-2}$; 5) $y = (x - 1)^{-3}$;

2) $y = (x - 3)^{-2}$; 4) $y = x^{-3} - 1$; 6) $y = 3x^{-3}$.

График функции $y = x^{-2} + 2$, или $y = \frac{1}{x^2} + 2$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг (параллельный перенос) графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY).

Свойства базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
- Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось OY) и горизонтальная $y=0$ (ось OX).
- Ключевые точки: $(-1; 1)$, $(1; 1)$, $(-2; 1/4)$, $(2; 1/4)$.

Построение графика $y = \frac{1}{x^2} + 2$:
- График $y = \frac{1}{x^2}$ сдвигается на 2 единицы вверх.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется.
- Горизонтальная асимптота смещается вверх на 2 единицы и становится прямой $y=2$.
- Ключевые точки смещаются вверх: $(-1; 3)$, $(1; 3)$, $(-2; 2.25)$, $(2; 2.25)$.
- Область значений новой функции: $E(y) = (2; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^{-2} + 2$ необходимо график функции $y = x^{-2}$ сдвинуть на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Горизонтальной асимптотой является прямая $y=2$, вертикальной асимптотой — прямая $x=0$.

График функции $y = (x - 3)^{-2}$, или $y = \frac{1}{(x-3)^2}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (OX).

Построение графика $y = \frac{1}{(x-3)^2}$:
- График $y = \frac{1}{x^2}$ сдвигается на 3 единицы вправо.
- Вертикальная асимптота смещается вправо на 3 единицы и становится прямой $x=3$.
- Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
- Ключевые точки смещаются вправо: точка $(-1; 1)$ переходит в $(-1+3; 1) = (2; 1)$, точка $(1; 1)$ переходит в $(1+3; 1) = (4; 1)$.
- Ось симметрии смещается и становится прямой $x=3$.
- Область определения новой функции: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 3)^{-2}$ необходимо график функции $y = x^{-2}$ сдвинуть на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вертикальной асимптотой является прямая $x=3$, горизонтальной асимптотой — прямая $y=0$.

График функции $y = -\frac{1}{2}x^{-2}$, или $y = -\frac{1}{2x^2}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Для построения необходимо выполнить два преобразования:
1. Сжатие графика $y = \frac{1}{x^2}$ к оси OX в 2 раза (умножение ординат всех точек на $\frac{1}{2}$). Получим график $y = \frac{1}{2x^2}$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX. Получим искомый график $y = -\frac{1}{2x^2}$.

Построение графика $y = -\frac{1}{2x^2}$:
- График $y = \frac{1}{x^2}$ проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.
- После сжатия (график $y = \frac{1}{2x^2}$) точки переходят в $(1; 1/2)$ и $(-1; 1/2)$.
- После отражения (график $y = -\frac{1}{2x^2}$) точки переходят в $(1; -1/2)$ и $(-1; -1/2)$. Ветви графика направлены вниз.
- Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
- Область значений новой функции: $E(y) = (-\infty; 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^{-2}$ необходимо график $y=x^{-2}$ сжать к оси OX в 2 раза, а затем отразить симметрично относительно оси OX. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Ветви графика направлены вниз.

График функции $y = x^{-3} - 1$, или $y = \frac{1}{x^3} - 1$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Свойства базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат $(0;0)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
- Ключевые точки: $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

Построение графика $y = \frac{1}{x^3} - 1$:
- График $y = \frac{1}{x^3}$ сдвигается на 1 единицу вниз.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется.
- Горизонтальная асимптота смещается вниз на 1 единицу и становится прямой $y=-1$.
- Ключевые точки смещаются вниз: $(1; 1-1) = (1; 0)$, $(-1; -1-1) = (-1; -2)$.
- Центр симметрии смещается в точку $(0; -1)$.
- Область значений новой функции: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^{-3} - 1$ необходимо график функции $y = x^{-3}$ сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Горизонтальной асимптотой является прямая $y=-1$, вертикальной асимптотой — прямая $x=0$.

График функции $y = (x - 1)^{-3}$, или $y = \frac{1}{(x-1)^3}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Построение графика $y = \frac{1}{(x-1)^3}$:
- График $y = \frac{1}{x^3}$ сдвигается на 1 единицу вправо.
- Вертикальная асимптота смещается вправо на 1 единицу и становится прямой $x=1$.
- Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
- Ключевые точки смещаются вправо: $(1+1; 1) = (2; 1)$, $(-1+1; -1) = (0; -1)$.
- Центр симметрии смещается в точку $(1; 0)$.
- Область определения новой функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 1)^{-3}$ необходимо график функции $y = x^{-3}$ сдвинуть на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Вертикальной асимптотой является прямая $x=1$, горизонтальной асимптотой — прямая $y=0$.

График функции $y = 3x^{-3}$, или $y = \frac{3}{x^3}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: растяжение графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ от оси OX в 3 раза (вдоль оси OY).

Построение графика $y = \frac{3}{x^3}$:
- Каждая ордината (координата y) точки графика $y = \frac{1}{x^3}$ умножается на 3.
- Ключевые точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$ базовой функции переходят в точки $(1; 3)$ и $(-1; -3)$.
- Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
- График по-прежнему симметричен относительно начала координат.

Ответ: Для построения графика функции $y = 3x^{-3}$ необходимо график функции $y=x^{-3}$ растянуть от оси OX в 3 раза. Асимптоты $x=0$ и $y=0$ сохраняются.